《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

1. (2024·沈阳高一检测)下列各组对象不能构成集合的是 ( )
A. 参加杭州亚运会的全体体操选手
B. 小于$\sqrt{5}$的正整数
C. 2023年高考数学难题
D. 所有无理数

答案： 1. C 对于 A，参加杭州亚运会的全体体操选手是确定的，可以构成集合；
对于 B，小于 $\sqrt{5}$ 的正整数是确定的，可以构成集合；
对于 C，2023 年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合；
对于 D，所有无理数是确定的，能构成集合.

2. 若以方程x² - 3x + 2 = 0和x² + 5x - 6 = 0的所有的解为元素组成集合A，则A中元素个数为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 2. C $x^2 - 3x + 2=(x - 1)(x - 2)=0$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$，
$x^2 + 5x - 6=(x - 1)(x + 6)=0$，解得 $x = 1$ 或 $x=-6$，
所以 $A = \{1,2,-6\}$，集合 $A$ 中有 3 个元素.

【典例】1. （2024·滨州高一检测）下列关系中，正确的个数为 （ ）
①$\frac{2}{7}$∈R；②$\sqrt{2}$∈Q；③π∈Q；④|-3|∈N；⑤ - $\sqrt{4}$∈Z。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 1. C 因为 $\mathbf{R}$ 是实数集，所以 $\frac{2}{7}\in\mathbf{R}$，故①正确；
因为 $\mathbf{Q}$ 是有理数集，所以 $\sqrt{2}\notin\mathbf{Q}$，$\pi\notin\mathbf{Q}$，故②③错误；
因为 $\mathbf{N}$ 是自然数集，所以 $|-3| = 3\in\mathbf{N}$，故④正确；
因为 $\mathbf{Z}$ 是整数集，所以 $-\sqrt{4}=-2\in\mathbf{Z}$，故⑤正确.
综上，正确的个数为 3.

2. 集合A中的元素x满足$\frac{6}{3 - x}$∈N，x∈N，则集合A中的元素为________。

答案： 2.【解析】由 $\frac{6}{3 - x}\in\mathbf{N}$，$x\in\mathbf{N}$ 知 $x\geqslant0$，$\frac{6}{3 - x}＞0$，且 $x\neq3$，
解析
故 $0\leqslant x＜3$.
又 $x\in\mathbf{N}$，故 $x = 0$，$1$，$2$.
当 $x = 0$ 时，$\frac{6}{3 - 0}=2\in\mathbf{N}$，
当 $x = 1$ 时，$\frac{6}{3 - 1}=3\in\mathbf{N}$，
当 $x = 2$ 时，$\frac{6}{3 - 2}=6\in\mathbf{N}$.
故集合 $A$ 中的元素为 0，1，2.
答案：0，1，2

1. (多选题)(2024·连云港高一检测)已知集合A = {x|x = 3k - 1，k∈Z}，则下列表示正确的是 ( )
A. -1∉A
B. -11∉A
C. 2∈A
D. -34∈A

答案： 1. BCD 易知 $k = 0\Rightarrow x=-1\Rightarrow - 1\notin A$；$k = 1\Rightarrow x = 2\Rightarrow2\in A$；$k=-11\Rightarrow x=-34\Rightarrow - 34\in A$.
令 $3k - 1=-11\Rightarrow k=-\frac{10}{3}\notin\mathbf{Z}$，即 B，C，D 正确，A 错误.

2. 集合A中有且仅有三个数1，0，a，若a²∈A，求a的值。

答案： 2.【解析】若 $a^2 = 0$，则 $a = 0$，不符合集合中元素的互异性，所以 $a^2\neq0$.
若 $a^2 = 1$，则 $a=\pm1$，由元素的互异性知 $a\neq1$，当 $a=-1$ 时符合集合中元素的互异性.
若 $a^2 = a$，则 $a = 0$ 或 1，由上面讨论知均不符合集合中元素的互异性.
综上可知，$a=-1$.

【典例】用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于6的整数组成的集合A；
（2）方程x² - 9 = 0的实数根组成的集合B；
（3）一次函数y = x + 3与y = -2x + 6的图象的交点组成的集合C。

答案： [典例][解析]
(1)因为大于 1 且小于 6 的整数包括 2，3，4，5，所以 $A = \{2,3,4,5\}$.
(2)方程 $x^2 - 9 = 0$ 的实数根为 - 3，3，所以 $B = \{-3,3\}$.
(3)由 $\begin{cases}y = x + 3\\y=-2x + 6\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$，
即一次函数 $y = x + 3$ 与 $y=-2x + 6$ 的图象的交点为 $(1,4)$，所以 $C = \{(1,4)\}$.