《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

类型一 充分条件的判断（逻辑推理）
【典例】1.(多选题)使ab＞0成立的充分条件是 （ ）
A.a＞0,b＞0 B.a + b＞0
C.a＜0,b＜0 D.a＞1,b＞1
2.判断下列各题中,p是否是q的充分条件:
①p:x² = y²,q:x = y.
②p:一元二次方程ax² + bx + c = 0有实数根,q:b² - 4ac≥0.
③p:整数a能被4整除,q:整数a的个位数字为偶数.
④p:(x - 1)² + (y - 2)² = 0,q:(x - 1)(y - 2)=0.

答案： 1.ACD　因为a＞0,b＞0→ab＞0;a＜0,b＜0→ab＞0;a＞1,b＞1 →ab＞0,所以选项A,C,D都是使ab＞0成立的充分条件.
对于B,若α=2,b=−1时，满足a+b＞0,但ab＜0,故B不成立.
2.[解析]①若x²=y²,则x=y或x=−y,
　因此p≠q,所以p不是q的充分条件.
　②若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0,即b2−4ac≥0，所以pq,所以p是q的充分条件.
　③若整数α能被4整除，则α是偶数，所以α的个位数字为偶数，
　所以p→q,所以p是q的充分条件.
　④因为(x−1)²+(y−2)²=0→x=1且y=2＞(x−1)(y−2)=0,
　所以pU)q,所以p是q的充分条件.

即学即练
(2024·丹东高一检测)若集合P = {1,2,3,4},Q = {x|0＜x＜5},则“x∈P”是“x∈Q”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A　Vx∈P,则0＜x＜5,所以x∈Q,故充分性成立;Vx∈Q,x∈P不一定成立，故必要性不成立，所以“x∈P"是“x∈Q"的充分不必要条件.

类型二 必要条件的判断（逻辑推理）
【典例】1.(2024·泰安高一检测)若a,b,c∈R,则“ac = bc”是“a = b”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024·沈阳高一检测)“0＜x＜4”的一个必要不充分条件为 （ ）
A.0＜x＜4 B.0＜x＜2
C.x＜0 D.x＜4
3.判断下列各题中,q是否是p的必要条件:
①p:a是1的平方根,q:a = 1.
②p:4x² - mx + 9是完全平方式,q:m = 12.
③p:a是无理数,q:a是无限小数.
④p:a与b互为相反数,q:a与b的绝对值相等.

答案： 1.B　若c=0,令α=2,b=1,满足ac=bc,但a≠b;
　若α=b,则ac=bc一定成立，
　所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件.
2.D　显然A项是充要条件，不符合题意;
　由“0＜x＜2"可推出“0＜x＜4”，即B项是充分条件，不符合题意;
　“x＜0"不能推出“0＜x＜4”,反之“0＜x＜4”也推不出“r＜0”,即C项为既不充分也不必要条件，不符合题意;
　易知(0,4)真包含于(−00,4)，所以“0＜x＜4"的一个必要不充分条件为“r＜4”.
3.[解析]①1的平方根是±1,所以p≠q,所以q不是p的必要条件.
　②因为4x²−mx+9=(2x±3)²,所以m=±12,所以p≠q,所以q不是ρ的必要条件.
　③因为无理数是无限不循环小数，所以p→q,所以q是p的必要条件.④若α与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p→q,所以q是p 的必要条件.