《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】1.(2024·烟台高一检测)满足条件{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}的集合A有 ( )
A.3个 B.5个 C.7个 D.8个

答案： 【典例】1. D 因为$\{1,2\}\subseteq A\subseteq\{1,2,3,4,5\}$，所以集合 A 可以为$\{1,2\}$，$\{1,2,3\}$，$\{1,2,4\}$，$\{1,2,5\}$，$\{1,2,3,4\}$，$\{1,2,3,5\}$，$\{1,2,4,5\}$，$\{1,2,3,4,5\}$，共 8 个.

2.已知A = {0，1，2}，B = {4，5}，M = {x|x = a + b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集个数为 ( )
A.15 B.16 C.31 D.32

答案： 2. A 因为$A = \{0,1,2\}$，$B = \{4,5\}$，$M = \{x|x = a + b,a\in A,b\in B\}$，所以$M = \{4,5,6,7\}$，即集合 M 中有 4 个元素，所以集合 M 的真子集个数为$2^4 - 1 = 15$.

1.(2024·抚顺高一检测)已知集合A = {x|x² - 3x + 2 = 0}，B = {x|0≤x≤5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 ( )
A.15
B.16
C.7
D.8

答案： 1. B 集合$A = \{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}=\{1,2\}$，$B = \{x|0\leq x\leq5,x\in N\}=\{0,1,2,3,4,5\}$，满足$A\subseteq C\subseteq B$的集合 C 的个数即为集合$\{0,3,4,5\}$的子集的个数.因为集合$\{0,3,4,5\}$的子集个数为$2^4 = 16$，所以满足$A\subseteq C\subseteq B$的集合 C 的个数为 16.

2.已知集合A = {1，3，5}，则集合A的所有非空子集的元素之和为 .

答案： 【解析】集合 A 的非空子集分别是$\{1\}$，$\{3\}$，$\{5\}$，$\{1,3\}$，$\{1,5\}$，$\{3,5\}$，$\{1,3,5\}$. 注意到集合 A 中的每个元素都会出现在集合 A 的 4 个子集中，即集合 A 中的每个元素在集合 A 的所有非空子集的元素之中出现 4 次，故所求和为$(1 + 3 + 5)\times4 = 36$.
答案：36

角度1 由集合相等求参数
【典例】(2024·潍坊高一检测)若{a²，0，-1} = {a，b，0}，则a - b的值是 ( )
A.1或 - 2或2
B.1或2
C.±2
D.1或 - 2

答案： 【典例】C 因为$\{a^2,0,-1\}=\{a,b,0\}$，所以①$\left\{\begin{array}{l}a^2 = a\\b = - 1\end{array}\right.$或②$\left\{\begin{array}{l}a^2 = b\\a = - 1\end{array}\right.$，
由①得$\left\{\begin{array}{l}a = 0\\b = - 1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array}\right.$，其中$\left\{\begin{array}{l}a = 0\\b = - 1\end{array}\right.$与元素互异性矛盾，舍去，$\left\{\begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array}\right.$符合题意，此时$a - b = 2$；
由②得$\left\{\begin{array}{l}b = 1\\a = - 1\end{array}\right.$，符合题意，此时$a - b = - 2$.

若整数a，b能使{2a，a + b} = {7，4}成立，则ab = .

答案： 【解析】若$\left\{\begin{array}{l}2a = 7\\a + b = 4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，又因为 a，b 为整数，所以舍去；
若$\left\{\begin{array}{l}2a = 4\\a + b = 7\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array}\right.$，此时$ab = 10$.
答案：10

【典例】(易错·对对碰)
(1)已知集合A = {x|-2≤x≤5}，B = {x|m + 1≤x≤2m - 1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为 .
(2)已知集合A = {x|-2＜x＜5}，B = {x|m + 1≤x≤2m - 1}，若B⫋A，则实数m的取值范围为 .

答案：
【典例】【解析】
(1)当$B\neq\varnothing$时，如图所示.

所以$\left\{\begin{array}{l}m + 1\geq - 2\\2m - 1\lt5\\2m - 1\geq m + 1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m + 1\gt - 2\\2m - 1\leq5\\2m - 1\geq m + 1\end{array}\right.$，
解这两个不等式组，得$2\leq m\leq3$.
当$B = \varnothing$时，由$m + 1\gt2m - 1$，得$m\lt2$.
综上可得，m 的取值范围是$\{m|m\leq3\}$.
答案：$\{m|m\leq3\}$
(2)当$B = \varnothing$时，由$m + 1\gt2m - 1$，得$m\lt2$.
当$B\neq\varnothing$时，如图所示.

所以$\left\{\begin{array}{l}m + 1\gt - 2\\2m - 1\lt5\\m + 1\leq2m - 1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m\gt - 3\\m\lt3\\m\geq2\end{array}\right.$，即$2\leq m\lt3$，
综上可得，m 的取值范围是$\{m|m\lt3\}$.
答案：$\{m|m\lt3\}$

(2024·青岛高一检测)设集合A = {x|-1≤x≤6}，B = {x|m - 1≤x≤2m + 1}，已知B⊆A，求实数m的取值范围.

答案：
【解析】当$B = \varnothing$时，$m - 1\gt2m + 1$，即$m\lt - 2$时，符合题意；
当$B\neq\varnothing$时，由$B\subseteq A$，借助数轴表示如图所示.

则$\left\{\begin{array}{l}m - 1\leq2m + 1\\m - 1\geq - 1\\2m + 1\leq6\end{array}\right.$，解得$0\leq m\leq\frac{5}{2}$.
综上所述，实数 m 的取值范围是$\left\{m\left|m\lt - 2或0\leq m\leq\frac{5}{2}\right.\right\}$.