《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

一、一元二次不等式的概念
一般地，形如 的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0. 一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等.

答案： $ax^{2}+bx + c＞0$

二、一元二次不等式的解法
1. 用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x₁＜x₂，则不等式(x - x₁)(x - x₂)＜0的解集是 ，不等式(x - x₁)(x - x₂)＞0的解集是 .
2. 用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax² + bx + c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x - h)²＞k或(x - h)²＜k的形式，再由k值情况，可得原不等式的解集，如表:

答案： 1. $(x_{1},x_{2})$ $(-\infty,x_{1})\cup(x_{2},+\infty)$

明辨是非
（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)mx² - 5x＜0是一元二次不等式. ( )
(2)若方程ax² + bx + c = 0(a＜0)没有实数根，则不等式ax² + bx + c＞0的解集为R. ( )
(3)设二次方程ax² + bx + c = 0的两个实数根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，则一元二次不等式ax² + bx + c＞0的解集不可能为{x|x₁＜x＜x₂}. ( )
(4)ax² + bx + c＞0的解集可能是(m，+∞). ( )

答案：
(1)× 提示:由题意，当$m = 0$时，是一元一次不等式；当$m\neq0$时，是一元二次不等式，故错误.
(2)× 提示:由题意，若方程$ax^{2}+bx + c = 0(a＜0)$没有实根，所以二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + c(a＜0)$开口向下，且函数$f(x)$小于0，则不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集为$\varnothing$，故错误.
(3)× 提示:由题意，当二次项系数小于0时，不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集为$\{x|x_{1}＜x＜x_{2}\}$，故错误.
(4)√ 提示:由题意，当$a = 0,b＞0$时，原不等式变为$bx + c＞0$，解得$x＞-\frac{c}{b}$，设$m = -\frac{c}{b}$，则$x＞m$，故正确.