《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

（多选题）设全集$U = \{1,2,3,4,5\}$，若$A\cap B = \{2\}$，$(\complement_U A)\cap B = \{4\}$，$(\complement_U A)\cap(\complement_U B)=\{1,5\}$，则下列结论不正确的是（ ）
A. $3\notin A$，且$3\notin B$
B. $3\notin B$，且$3\in A$
C. $3\notin A$
D. $3\in A$，且$3\in B$

答案：
ACD 根据题意利用维恩图可得： 可知：$3\in A$且$3\notin B$，故A，C，D错误，B正确.

【典例】已知集合$U = \{x|1\leqslant x\leqslant7\}$，$A = \{x|2\leqslant x\leqslant5\}$，$B = \{x|3\leqslant x\leqslant7\}$.
求：（1）$A\cap B$；（2）$(\complement_U A)\cup B$；（3）$A\cap(\complement_U B)$.

答案：
【解析】
(1)由$A = \{x|2\leqslant x\leqslant5\}$，$B = \{x|3\leqslant x\leqslant7\}$，画出数轴， 由数轴可得$A\cap B = \{x|3\leqslant x\leqslant5\}$.
(2)由$U = \{x|1\leqslant x\leqslant7\}$，$A = \{x|2\leqslant x\leqslant5\}$，画出数轴， 由数轴得$\complement_U A = \{x|1\leqslant x\lt2,5\lt x\leqslant7\}$，再画数轴， 由数轴得$(\complement_U A)\cup B = \{x|1\leqslant x\lt2或3\leqslant x\leqslant7\}$.
(3)由$U = \{x|1\leqslant x\leqslant7\}$，$B = \{x|3\leqslant x\leqslant7\}$，故$\complement_U B = \{x|1\leqslant x\lt3\}$，画出数轴， 由数轴得$A\cap(\complement_U B)=\{x|2\leqslant x\lt3\}$.

（2024·青岛高一检测）设$U = \mathbf{R}$，$A = \{x|-4\lt x\leqslant3\}$，$B = \{x|x\leqslant - 2或x\geqslant3\}$，求：
（1）$A\cup B$；
（2）$(\complement_U A)\cup(\complement_U B)$.

答案：
【解析】
(1)在数轴上如图所示， 所以$A\cup B = \mathbf{R}$.
(2)$A\cap B = \{x|-4\lt x\leqslant - 2或x = 3\}$，$(\complement_U A)\cup(\complement_U B)=\complement_U(A\cap B)=\{x|x\leqslant - 4或-2\lt x\lt3或x\gt3\}$.

【典例】已知全集U中有m个元素，$(\complement_U A)\cup(\complement_U B)$中有n个元素，若$A\cap B\neq\varnothing$，则$A\cap B$的元素个数为（ ）
A. $m$
B. $n$
C. $m + n$
D. $m - n$

答案： D 由于$(\complement_U A)\cup(\complement_U B)=\complement_U(A\cap B)$中有$n$个元素，全集$U$中有$m$个元素，所以$A\cap B$的元素个数为$m - n$.