《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

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求下列方程的解集：
（1）$2(x - 1)=5 - x$；
（2）$2x-\frac{1}{3}(5x - 6)=10-(\frac{2}{3}x - 7)$.

答案： [解析]
(1)去括号，得 $2x - 2 = 5 - x$. 移项，得 $2x + x = 5 + 2$. 合并同类项，得 $3x = 7$. 系数化为1，得 $x=\frac{7}{3}$. 因此方程的解集为 $\{\frac{7}{3}\}$.
(2)去括号，得 $2x-\frac{5}{3}x + 2 = 10-\frac{2}{3}x + 7$. 移项，得 $2x-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}x = 10 + 7-2$. 合并同类项，得 $x = 15$. 因此方程的解集为 $\{15\}$.

【典例】求下列方程的解集：
（1）$x^{2}-3x - 4 = 0$；
（2）$x + 2 = 3x^{2}$；
（3）$6x(x + 1)=5(x + 1)$；
（4）$(2x - 1)^{2}-(x + 1)^{2}=0$.

答案： [解析]
(1)因为 $x^2-3x - 4=(x + 1)(x - 4)$，所以原方程可化为 $(x + 1)(x - 4)=0$，故 $x + 1 = 0$ 或 $x - 4 = 0$，解得 $x=-1$ 或 $x = 4$. 因此原方程的解集为 $\{-1,4\}$.
(2)因为 $3x^2-x - 2=(3x + 2)(x - 1)$，所以原方程可化为 $(3x + 2)(x - 1)=0$，故 $3x + 2 = 0$ 或 $x - 1 = 0$，解得 $x=-\frac{2}{3}$ 或 $x = 1$. 因此原方程的解集为 $\{-\frac{2}{3},1\}$.
(3)因为 $6x(x + 1)=5(x + 1)$，所以 $(x + 1)(6x - 5)=0$，所以 $x + 1 = 0$ 或 $6x - 5 = 0$. 所以 $x=-1$ 或 $x=\frac{5}{6}$. 所以原方程的解集为 $\{-1,\frac{5}{6}\}$.
(4)因为 $(2x - 1)^2-(x + 1)^2=0$，所以 $4x^2-4x + 1-x^2-2x - 1 = 0$. 所以 $3x^2-6x = 0$. 所以 $x(x - 2)=0$. 所以 $x = 0$ 或 $x = 2$. 所以原方程的解集为 $\{0,2\}$.

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求一元二次方程的解集：
（1）$x^{2}-x = 0$；
（2）$x^{2}+5x - 14 = 0$.

答案： [解析]
(1)$x^2-x = 0$，分解因式得：$x(x - 1)=0$，$x = 0$ 或 $x - 1 = 0$，解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 1$. 所以方程的解集为 $\{0,1\}$.
(2)$x^2+5x - 14 = 0$，分解因式得：$(x + 7)(x - 2)=0$，$x + 7 = 0$ 或 $x - 2 = 0$，解得 $x_1=-7$，$x_2 = 2$. 所以方程的解集为 $\{-7,2\}$.