《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的__________，那么称这个给定的集合为全集.
全集通常用______表示.

答案： 子集 $U$

答案： $不属于A$        $\{x|x\in U\text{ 且 }x\notin A\}$           U  $\varnothing$   A

明辨是非
（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）一个集合的补集一定含有元素. （ ）
（2）集合$\complement_Z \mathbf{N}$与集合$\complement_Z \mathbf{N}_+$相等. （ ）
（3）集合A与集合A在集合U中的补集没有公共元素. （ ）

答案：
(1)× 提示：因为$\complement_U U = \varnothing$，所以错误.
(2)× 提示：因为$0\notin\complement_{\mathbf{Z}}\mathbf{N}$，而$0\in\complement_{\mathbf{Z}}\mathbf{N}_+$，所以错误.
(3)√ 提示：由补集定义知正确.

【典例】1.（2023·全国乙卷）设全集$U = \{0,1,2,4,6,8\}$，集合$M = \{0,4,6\}$，$N = \{0,1,6\}$，则$M\cup\complement_U N=$（ ）
A. $\{0,2,4,6,8\}$ B. $\{0,1,4,6,8\}$
C. $\{1,2,4,6,8\}$ D. $U$

答案： 1. A 由题意可得$\complement_U N = \{2,4,8\}$，则$M\cup\complement_U N = \{0,2,4,6,8\}$.

2.（2023·全国甲卷）设集合$A = \{x|x = 3k + 1,k\in\mathbf{Z}\}$，$B = \{x|x = 3k + 2,k\in\mathbf{Z}\}$，$U$为整数集，$\complement_U(A\cup B)=$（ ）
A. $\{x|x = 3k,k\in\mathbf{Z}\}$
B. $\{x|x = 3k - 1,k\in\mathbf{Z}\}$
C. $\{x|x = 3k - 2,k\in\mathbf{Z}\}$
D. $\varnothing$

答案： 2. A 因为整数集$\mathbf{Z}=\{x|x = 3k,k\in\mathbf{Z}\}\cup\{x|x = 3k + 1,k\in\mathbf{Z}\}\cup\{x|x = 3k + 2,k\in\mathbf{Z}\}$，$U = \mathbf{Z}$，所以$\complement_U(A\cup B)=\{x|x = 3k,k\in\mathbf{Z}\}$

3.（教材提升例题4）集合$A = \{x|-1\leqslant x\lt2\}$，$B = \{x|x\gt1\}$，则$A\cap(\complement_{\mathbf{R}}B)=$（ ）
A. $\{x|-1\leqslant x\lt1\}$ B. $\{x|-1\leqslant x\leqslant1\}$
C. $\{x|1\leqslant x\lt2\}$ D. $\{x|x\lt2\}$

答案： 3. B 因为$A = \{x|-1\leqslant x\lt2\}$，$B = \{x|x\gt1\}$，所以$\complement_{\mathbf{R}}B = \{x|x\leqslant1\}$，所以$A\cap(\complement_{\mathbf{R}}B)=\{x|-1\leqslant x\leqslant1\}$.

1. 设全集$U = \mathbf{R}$，集合$M = \{x|x\gt2\}$，$N = \{x|-2\lt x\lt4\}$，则$\{x|x\leqslant2或x\geqslant4\}=$( )
A. $\complement_U(M\cup N)$
B. $N\cup\complement_U M$
C. $\complement_U(M\cap N)$
D. $M\cup\complement_U N$

答案： 1. C 因为$M = \{x|x\gt2\}$，$N = \{x|-2\lt x\lt4\}$，$U = \mathbf{R}$，所以$M\cap N = \{x|2\lt x\lt4\}$，$M\cup N = \{x|x\gt - 2\}$，$\complement_U M = \{x|x\leqslant2\}$，$\complement_U N = \{x|x\leqslant - 2或x\geqslant4\}$，所以$\complement_U(M\cup N)=\{x|x\leqslant - 2\}$，$\complement_U(M\cap N)=\{x|x\leqslant2或x\geqslant4\}$，$N\cup\complement_U M = \{x|x\lt4\}$，$M\cup\complement_U N = \{x|x\leqslant - 2或x\gt2\}$.

2.(2024·沈阳高一检测)设全集$U = \{0,1,2,3,4,5\}$，集合$A = \{1,2,4\}$，$B = \{x|\sqrt{x}\lt2,x\in\mathbf{N}\}$，则$B\cap(\complement_U A)=$( )
A. $\{0,3,5\}$
B. $\{0,1,3\}$
C. $\{0,3\}$
D. $\{3,5\}$

答案： 2. C 由$\sqrt{x}\lt2$，得$0\leqslant x\lt4$，因为$x\in\mathbf{N}$，所以$B = \{0,1,2,3\}$，因为$U = \{0,1,2,3,4,5\}$，$A = \{1,2,4\}$，所以$\complement_U A = \{0,3,5\}$，所以$B\cap(\complement_U A)=\{0,3\}$.