《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】(2024·朝阳高一检测)某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员$x(x\in N^{*})$名，调整后研发人员的年人均投入增加$4x\%$，技术人员的年人均投入调整为$60(m-\frac{2x}{25})$万元.
(1)要使这$(100 - x)$名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数$x$最多为多少.
(2)若技术人员在已知范围内调整后，必须保障研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数$m$的最大值.

答案： [解析]
(1)依题意得$(100 - x)\cdot60\cdot(1 + 4x\%)\geq100\times60$，整理可得$\frac{1}{25}x² - 3x\leq0$，又因为$x\in N$，解得$0\lt x\leq75$，所以调整后的技术人员的人数最多为75.
(2)由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：
　$(100 - x)\cdot60\cdot(1 + 4x\%)\geq x\cdot60\cdot(m - \frac{2x}{25})$，得$(\frac{100}{x}-1)(1 + \frac{x}{25})\geq m - \frac{2x}{25}$，整理得$m\leq\frac{100}{x}+\frac{x}{25}+3$，
　由均值不等式可得$\frac{100}{x}+\frac{x}{25}+3\geq2\sqrt{\frac{100}{x}.\frac{x}{25}}+3=7$，当且仅当$\frac{100}{x}=\frac{x}{25}$（$x\in N$）时，即当$x = 50$时等号成立，所以$m\leq7$.
　因此，正整数$m$的最大值为7.

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某车站准备建造一间高为3米，底面积为15平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米300元，左右两面新建墙体的报价为每平方米160元，屋顶和地面以及其他报价共计2800元.设屋子的左右两面墙的长度均为$x$米$(2\leq x\leq6)$.
(1)请建立工程队报价$y$关于$x$的函数关系式；
(2)当左右两面墙的长度为多少米时，工程队的报价最低？最低报价是多少？

答案： [解析]
(1)由题意，保管员室前面墙体长$\frac{15}{x}$米，
　所以工程队报价$y = 2x\times3\times160+\frac{15}{x}\times3\times300 + 2800(2\leq x\leq6)$，
　化简得$y = 60\times(16x+\frac{225}{x})+2800(2\leq x\leq6)$；
(2)由
(1)可知$y = 60\times(16x+\frac{225}{x})+2800\geq60\times2\sqrt{\frac{225}{x}\times16x}+2800 = 10000$.
　当且仅当$16x=\frac{225}{x}$，即$x=\frac{15}{4}$时等号成立.
　所以当左右两面墙的长度为$\frac{15}{4}$米时报价最低，最低报价是10000元.