《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】1.（2024·青岛高一检测）若函数$f(x)$和$g(x)$分别由下表给出，满足$g(f(x)) = 2$的$x$值是（ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： D 由$g(f(x)) = 2$，则$f(x)=1$，则$x = 4$.

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（2024·大连高一检测）已知函数$f(x)$由下表给出，则满足$f[f(x)]＞f(3)$的$x$的值为（ ）

A. 1或3
B. 1或2
C. 2
D. 3

答案： A 由表知$f(3)=1$，
若$f[f(x)]＞f(3)=1$，则$f(x)=1$或$f(x)=2$，所以$x = 3$或$x = 1$.

【典例】（2024·济宁高一检测）已知函数$f(x)=x^{2}$，$g(x)=-x + 2$，$x\in\mathbf{R}$.
（1）画出函数$f(x)$，$g(x)$的图象；
（2）$\forall x\in\mathbf{R}$，用$m(x)$表示$f(x)$，$g(x)$中的较小者，记为$m(x)=\min\{f(x),g(x)\}$，请分别用图象法和解析法表示函数$m(x)$.

答案：
[解析]
(1)$f(x)$与$g(x)$的图象如下，

(2)图象法表示$m(x)$，如图，

解析法表示函数$m(x)=\begin{cases}-x + 2,x\leq - 2\\x^{2},-2＜x＜1\\-x + 2,x\geq1\end{cases}$.

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作出下列函数的图象并求出其值域.
（1）$y=-x$，$x\in\{ - 2,0,1,3\}$.
（2）$y=\frac{2}{x}$，$x\in[2,+\infty)$.
（3）$y=x^{2}+2x$，$x\in[-2,2)$.

答案：
[解析]
(1)列表
|$x$|$-2$|$0$|$1$|$3$|
|----|----|----|----|----|
|$y$|$2$|$0$|$-1$|$-3$|
函数图象只是四个点$(-2,2)$，$(0,0)$，$(1,-1)$，$(3,-3)$，其值域为$\{0,-1,2,-3\}$.

(2)列表
|$x$|$2$|$3$|$4$|$5$|$\cdots$|
|----|----|----|----|----|----|
|$y$|$1$|$\frac{2}{3}$|$\frac{1}{2}$|$\frac{2}{5}$|$\cdots$|
当$x\in[2,+\infty)$时，图象是反比例函数$y = \frac{2}{x}$的一部分，观察图象可知其值域为$(0,1]$.

(3)列表
|$x$|$-2$|$-1$|$0$|$1$|$2$|
|----|----|----|----|----|----|
|$y$|$0$|$-1$|$0$|$3$|$8$|
画图象，图象是抛物线$y = x^{2}+2x$在$-2\leq x＜2$之间的部分.由图可得函数的值域为$[-1,8)$.