《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

1.(2024·本溪高一检测)下列命题是真命题的是( )
A. 若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等
B. 若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形
C. 存在一个实数x，使得|x|＜0
D. 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0

答案： 1. B 若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，两个三角形不一定全等，故 A 错误；
由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形，故 B 正确；
因为对于任意实数，$|x|\geq0$，故 C 错误；
所有可以被 5 整除的整数，末尾数字都是 0 或者 5，故 D 错误.

2. 下列命题中，是真命题的是( )
A. ∀x∈R，x＞0
B. 如果x＜2，那么x＜1
C. ∃x∈R，x²≤ - 1
D. ∀x∈R，x² + 1≠0

答案： 2. D A 显然是假命题，$x$取负数就不符合；
B 中取$x = 1.5$，满足$x＜2$，但$x$不小于 1. 故 B 是假命题；
C 中在$\mathbf{R}$内不存在$x$，使得$x^{2}\leq - 1$，故 C 是假命题；
D 中对$\forall x\in\mathbf{R}$总有$x^{2}+1\geq1$，所以$x^{2}+1\neq0$，故 D 是真命题.

【典例】(易错·对对碰)
(1)已知命题“∀x∈[1,2]，x² - a≥0”是真命题，求实数a的取值范围；
(2)已知命题“∃x∈[1,2]，x² - a≥0”是真命题，求实数a的取值范围.

答案： [解析]
(1)由已知可得“$a\leq x^{2}$”对$\forall x\in[1,2]$恒成立.
设$y = x^{2}$，当$x\in[1,2]$时，$y$随$x$的增大而增大，即$y_{最小值}=1$，由不等式恒成立可得，$a\leq1$. 所以实数$a$的取值范围为$\{a|a\leq1\}$.
(2)由已知可得“$a\leq x^{2}$”对$x\in[1,2]$能成立.
设$y = x^{2}$，当$x\in[1,2]$时，$y$随$x$的增大而增大，即$y_{最大值}=4$，由不等式能成立可得，$a\leq4$. 所以实数$a$的取值范围为$\{a|a\leq4\}$.

1.(2024·潍坊高一检测)若命题“任意x∈R，使x²＞a”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A. {a|a≤0}
B. {a|a＜0}
C. {a|a≥0}
D. {a|a＞0}

答案： 1. B 由于任意$x\in\mathbf{R}$，都有$x^{2}\geq0$，
故要使命题“任意$x\in\mathbf{R}$，使$x^{2}＞a$”为真命题，需有$a＜0$.

2.(2024·沈阳高一检测)已知命题“∃x∈R，使得x² + (a - 1)x + 1＜0”是真命题，则a的取值范围是( )
A. (-∞，- 1)
B. (- 1，3)
C. (3，+∞)
D. (-∞，- 1)∪(3，+∞)

答案： 2. D 因为命题“$\exists x\in\mathbf{R}$，使得$x^{2}+(a - 1)x + 1＜0$”是真命题，
所以方程$x^{2}+(a - 1)x + 1=0$有两个不相等的实数根，
所以$\Delta=(a - 1)^{2}-4＞0$，解得$a＜-1$或$a＞3$.