《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

1. (2024·潍坊高一检测)已知关于$x$的方程$x^{2}+kx - 2 = 0$的一个根是1，则它的另一个根是( )
A. -3 B. 3 C. -2 D. 2

答案： C $\Delta=k^{2}+8＞0$，故方程必有两个不同的根，
设另一个根为$x_{2}$，则由根与系数的关系可知$x_{2}\times1=-2$，故$x_{2}=-2$.

2. 已知$\alpha,\beta$是一元二次方程$x^{2}-5x - 2 = 0$的两个不相等的实数根，则$\alpha+\beta+\alpha\beta$的值为( )
A. -1 B. 2 C. 3 D. 7

答案： C 由于$\alpha$，$\beta$是一元二次方程$x^{2}-5x - 2 = 0$的两个不相等的实数根，
所以$\begin{cases}\Delta=25-4\times(-2)＞0\\\alpha+\beta=5\\\alpha\beta=-2\end{cases}$，故$\alpha+\beta+\alpha\beta=5 - 2 = 3$.

3. (教材P52例2改编)已知$x_{1},x_{2}$为一元二次方程$x^{2}+\sqrt{13}x + 3 = 0$的两个实数根，求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$和$|x_{1}-x_{2}|$的值.
总结升华

答案： [解析]由根与系数的关系可知$x_{1}+x_{2}=-\sqrt{13}$，$x_{1}\cdot x_{2}=3$，
所以$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=13 - 6 = 7$，
$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{13 - 12}=1$.

1. 根与系数应用的前提
应用根与系数的关系时，首先确定判别式的值是否大于或等于0，判别式的值非负是应用根与系数的公式的前提.

答案：

2. 与一元二次方程两根有关的几个常用变形
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$；
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$；
(3)$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$；
(4)$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$；
(5)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$.
即学即练

答案：