《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

1. 算术平均值与几何平均值
给定两个正数a，b，数__________称为a，b的算术平均值；数$\sqrt{ab}$称为a，b的几何平均值.

答案： $\frac{a + b}{2}$

2. 均值不等式
前提：a，b都是正数
结论：$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$
等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立
几何意义：所有周长一定的矩形中，__________的面积最大

答案： $a = b$ 正方形

明辨是非
（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个不等式$a^{2} + b^{2} \geq 2ab$与$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$成立的条件是相同的. （ ）
（2）当a＞0，b＞0时，$a + b \geq 2\sqrt{ab}$. （ ）
（3）当a＞0，b＞0时，$ab \leq (\frac{a + b}{2})^{2}$. （ ）
（4）函数$y = x - 1 + \frac{1}{x - 1}$的最小值是2. （ ）

答案：
(1)× 提示:不等式 $a^{2}+b^{2}\geq2ab$ 成立的条件是 $a,b\in\mathbf{R}$；不等式 $\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$ 成立的条件是 $a＞0,b＞0$.
(2)√ 提示:均值不等式的变形公式.
(3)√ 提示:均值不等式的变形公式.
(4)× 提示:当 $x - 1＜0$，即 $x＜1$ 时，$x - 1+\frac{1}{x - 1}$ 是负数.