《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

当一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的解集不是空集时，这个方程的解可以记为$x_{1}=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},x_{2}=\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，则有$x_{1}+x_{2}=$__________；$x_{1}x_{2}=$__________.

答案： $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

[典例]用适当的方法求下列方程的解集.
（1）$x^{2}-2x - 8 = 0$；
（2）$2x^{2}-7x + 6 = 0$；
（3）$(x - 1)^{2}-2x + 2 = 0$.
[思路引领]

思路一 配方 化为完全平方式 开方求根
思路二 因式分解 十字相乘法进行因式分解 转化为一元一次方程求根
思路三 求根公式 求$\Delta = b^{2}-4ac$ 代入公式求根

总结升华
一元二次方程的解法
（1）解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如果不能用这两种方法，再考虑用公式法或配方法.
（2）公式法是解一元二次方程的通用方法.

即学即练
解下列一元二次方程：
（1）$x^{2}-2mx + m^{2}-1 = 0$；
（2）$x^{2}-(a + 1)x + a = 0$.

答案： [解析]
(1)方法一:配方法
移项,得$x^{2}-2x = 8$. 配方,得$(x - 1)^{2}=9$. 由此可得$x - 1=\pm3$.
所以$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$，所以方程的解集为$\{-2,4\}$.
方法二:因式分解法
原方程可化为$(x - 4)(x + 2)=0$，
所以$x - 4 = 0$或$x + 2 = 0$，所以$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$，
所以方程的解集为$\{-2,4\}$.
方法三:公式法
因为$a = 1$，$b=-2$，$c=-8$，所以$\Delta=b^{2}-4ac = 36＞0$.
所以$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\pm6}{2}$，即$x_{1}=-2$，$x_{2}=4$，
所以方程的解集为$\{-2,4\}$.
(2)方法一:原方程可化为$(x - 2)(2x - 3)=0$，
所以$x - 2 = 0$或$2x - 3 = 0$，所以$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{3}{2}$，
所以方程的解集为$\{2,\frac{3}{2}\}$.
方法二:因为$a = 2$，$b=-7$，$c = 6$，所以$\Delta=b^{2}-4ac = 1＞0$.
所以$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{1}}{2\times2}$，即$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{3}{2}$，
所以方程的解集为$\{2,\frac{3}{2}\}$.
(3)原方程可化为$(x - 1)^{2}-2(x - 1)=0$.
因式分解，得$(x - 1)(x - 1 - 2)=0$.
所以$x - 1 = 0$或$x - 3 = 0$. 所以$x_{1}=1$，$x_{2}=3$.
所以方程的解集为$\{1,3\}$.
[即学即练]
[解析]
(1)原方程化为$[x-(m + 1)][x-(m - 1)]=0$，解得$x=m + 1$或$x=m - 1$，所以原方程的解集为$\{m + 1,m - 1\}$.
(2)原方程化为$(x - a)(x - 1)=0$，解得$x = a$或$x = 1$，
当$a = 1$时，原方程的解集为$\{1\}$，当$a\neq1$时，原方程的解集为$\{a,1\}$.