《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

类型二 解简单的分式不等式(数学运算)
【典例】解不等式(2x - 1)/(3x + 1)≥0.
【思路引领】


提醒：常见分式不等式的转化
先将分式不等式移项、通分，整理成一边为0的形式，再等价转化为整式不等式求解(设f(x)=ax + b，g(x)=cx + d)，即
(1)f(x)/g(x)＞0⇔f(x)·g(x)＞0；
(2)f(x)/g(x)＜0⇔f(x)·g(x)＜0；
(3)f(x)/g(x)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0；
(4)f(x)/g(x)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0.

即学即练
解不等式(2 - x)/(x + 3)＞1.

总结升华
简单的分式不等式的解法

答案： [典例][解析]方法一 因为$\frac{2x - 1}{3x + 1}\geqslant0$，所以$\begin{cases}(2x - 1)(3x + 1)\geqslant0 \\ 3x + 1\neq0\end{cases}$，
所以$\begin{cases}x\leqslant-\frac{1}{3}或x\geqslant\frac{1}{2} \\ x\neq-\frac{1}{3}\end{cases}$，即$x＜-\frac{1}{3}$或$x\geqslant\frac{1}{2}$.
所以原不等式的解集为$\left\{x|x＜-\frac{1}{3}或x\geqslant\frac{1}{2}\right\}$.
方法二 原不等式可化为$\begin{cases}2x - 1\geqslant0 \\ 3x + 1＞0\end{cases}$或$\begin{cases}2x - 1\leqslant0 \\ 3x + 1＜0\end{cases}$，
解得$x\geqslant\frac{1}{2}$或$x＜-\frac{1}{3}$，
所以原不等式的解集为$\left\{x|x＜-\frac{1}{3}或x\geqslant\frac{1}{2}\right\}$.
[即学即练]
[解析]方法一 原不等式可化为$\frac{2 - x}{x + 3}-1＞0$，即$\frac{2x + 1}{x + 3}＜0$，
所以$\begin{cases}x + 3＞0 \\ 2x + 1＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x + 3＜0 \\ 2x + 1＞0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x＞-3 \\ x＜-\frac{1}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x＜-3 \\ x＞-\frac{1}{2}\end{cases}$，
所以$-3＜x＜-\frac{1}{2}$.
所以原不等式的解集为$\left\{x|-3＜x＜-\frac{1}{2}\right\}$.
方法二 原不等式可化为$\frac{(2 - x)-(x + 3)}{(x + 3)}＞0$，即$\frac{2x + 1}{x + 3}＜0$，
所以$(2x + 1)(x + 3)＜0$，所以$-3＜x＜-\frac{1}{2}$.
所以原不等式的解集为$\left\{x|-3＜x＜-\frac{1}{2}\right\}$.