《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

2.（2024·泰安高一检测）已知$p:0\lt x\lt1$，那么$p$的一个充分条件是（ ）
A. $1\lt x\lt3$
B. $-1\lt x\lt1$
C. $\frac{1}{3}\lt x\lt\frac{3}{4}$
D. $\frac{1}{2}\lt x\lt5$

答案： C 因为$1\lt x\lt3$推不出$0\lt x\lt1$，故$1\lt x\lt3$不是$p:0\lt x\lt1$的充分条件，A错误；
因为$-1\lt x\lt1$推不出$0\lt x\lt1$，故$-1\lt x\lt1$不是$p:0\lt x\lt1$的充分条件，B错误；
因为$\frac{1}{3}\lt x\lt\frac{3}{4}$一定能推出$0\lt x\lt1$，故$\frac{1}{3}\lt x\lt\frac{3}{4}$是$p:0\lt x\lt1$的充分条件，C正确；
因为$\frac{1}{2}\lt x\lt5$推不出$0\lt x\lt1$，故$\frac{1}{2}\lt x\lt5$不是$p:0\lt x\lt1$的充分条件，D错误.

3. 设$p$：实数$x$满足$A = \{x|x\leq3a$或$x\geq a(a\lt0)\}$.$q$：实数$x$满足$B = \{x|-4\leq x\lt - 2\}$. 且$q$是$p$的充分不必要条件，求实数$a$的取值范围.

答案： 【解析】因为$q$是$p$的充分不必要条件，所以$B\subsetneqq A$，
所以$\begin{cases}a\leqslant - 4\\a\lt0\end{cases}$或$\begin{cases}3a\geqslant - 2\\a\lt0\end{cases}$，解得$-\frac{2}{3}\leqslant a\lt0$或$a\leqslant - 4$.
所以$a$的取值范围为$\left\{a|-\frac{2}{3}\leqslant a\lt0或a\leqslant - 4\right\}$.

[典例]1.（2024·大连高一检测）已知命题$p:\exists x_0\in\mathbf{R},x_0\gt2$；命题$q:\forall x\gt0,\sqrt{x}\lt x$，则下列说法正确的是（ ）
A. $p$为存在量词命题且为假命题，$q$为全称量词命题且为假命题
B. $p$为全称量词命题且为假命题，$q$为存在量词命题且为假命题
C. $p$为存在量词命题且为真命题，$q$为全称量词命题且为假命题
D. $p$为全称量词命题且为真命题，$q$为存在量词命题且为真命题

答案： C 对于命题$p$，是存在量词命题，取$x_{0} = 3$，则$\exists x_{0}\in R$，$x_{0}\gt2$，故$p$为真命题；
对于命题$q$，是全称量词命题，当$x = \frac{1}{4}$时，$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\gt\frac{1}{4}$，故$q$为假命题.
所以$p$为存在量词命题且为真命题，$q$为全称量词命题且为假命题.

2. 命题$p:\forall x\in I,\frac{x}{x - 1}\gt0$，则$\neg p$是（ ）
A. $\forall x\in I,\frac{x}{x - 1}\leq0$
B. $\exists x\in I,\frac{x}{x - 1}\leq0$
C. $\forall x\in I,\frac{x}{x - 1}\leq0$或$x - 1 = 0$
D. $\exists x\in I,\frac{x}{x - 1}\leq0$或$x - 1 = 0$

答案： D 由全称量词命题的否定是存在量词命题知：原命题的否定为$\exists x\in I$，$\frac{x}{x - 1}\leqslant0$或$x - 1 = 0$.

3.（2023·抚顺高一检测）命题$p:\forall x\in\mathbf{R},x^{2}-2x - 3m\gt0$；命题$q:\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+4mx + 1\lt0$.
（1）若命题$p$为真命题，求实数$m$的取值范围；
（2）若命题$q$为假命题，求实数$m$的取值范围；
（3）若命题$p$，$q$至少有一个为真命题，求实数$m$的取值范围.

答案： 【解析】
(1)若命题$p$为真命题，则$\Delta = 4 + 12m\lt0$，解得$m\lt-\frac{1}{3}$，
所以实数$m$的取值范围是$\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)$；
(2)若命题$q$为假命题，则$q$的否定“$\forall x\in R$，$x^{2}+4mx + 1\geqslant0$”为真命题，则$\Delta = 16m^{2}-4\leqslant0$，解得$-\frac{1}{2}\leqslant m\leqslant\frac{1}{2}$，
所以实数$m$的取值范围是$\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$；
(3)由
(1)
(2)可知若命题$p$与命题$q$均为假命题，
则$\begin{cases}m\geqslant-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{2}\leqslant m\leqslant\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$-\frac{1}{3}\leqslant m\leqslant\frac{1}{2}$.
故命题$p$与命题$q$中至少有一个为真命题时，$m\lt-\frac{1}{3}$或$m\gt\frac{1}{2}$，
所以实数$m$的取值范围是$\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$.