《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

■即学即练
（教材P91例1改编）求下列函数的定义域：
（1）y = $\sqrt{x}$ + $\sqrt{1 - x}$；
（2）y = $\sqrt{x² - 2x + 3}$；
（3）y = $\frac{1}{|x| - 1}$；
（4）y = $\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$.

答案： [解析]
(1)由题意得$\begin{cases}x\geq0\\1 - x\geq0\end{cases}$，解得$0\leq x\leq1$，故定义域为$[0,1]$；
(2)$x^{2}-2x + 3=(x - 1)^{2}+2＞0$恒成立，故$y = \sqrt{x^{2}-2x + 3}$的定义域为$\mathbf{R}$；
(3)由题意得$|x|-1\neq0$，解得$x\neq1$且$x\neq - 1$，故定义域为$(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$；
(4)由题意得$\begin{cases}x + 1\geq0\\x - 2\neq0\end{cases}$，解得$x\geq - 1$且$x\neq2$，故定义域为$[-1,2)\cup(2,+\infty)$。

【典例】1. 已知函数f(x) = x² - 2|x| + 2，则f(x)的值域为（ ）
A. [-4，+∞）
B. [1，+∞）
C. [0，+∞）
D. [0，4]
2. 下列函数中，值域为[0，4]的是（ ）
A. f(x) = $\sqrt{16 - x²}$
B. f(x) = x - 1，x∈[-1，3]
C. f(x) = x² - 4x + 4，x∈[0，1]
D. f(x) = x + $\frac{1}{x}$ - 2，x∈[1，+∞）

答案： 1. $B$ $f(x)=x^{2}-2|x| + 2=|x|^{2}-2|x| + 2=(|x|-1)^{2}+1$，$|x|\in[0,+\infty)$，故$f(x)_{\min}=f(1)=1$，故函数值域为$[1,+\infty)$。
2. $A$ 对于$A$，因为$x^{2}\geq0$，所以$16 - x^{2}\leq16$，所以$0\leq\sqrt{16 - x^{2}}\leq4$，则该函数的值域为$[0,4]$，故$A$正确；
　对于$B$，因为$x\in[-1,3]$，所以$x - 1\in[-2,2]$，则该函数的值域为$[-2,2]$，故$B$错误；
　对于$C$，$f(x)=x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}$，$x\in[0,1]$，所以当$x = 0$时，$f(x)_{\max}=f(0)=4$，当$x = 1$时，$f(x)_{\min}=f(1)=1$，则该函数的值域为$[1,4]$，故$C$错误；
　对于$D$，$f(6)=6+\frac{1}{6}-2=\frac{25}{6}＞4$，所以该函数的值域不为$[0,4]$，故$D$错误。