《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

············◆明辨是非◆············
（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数的定义域和值域一定是无限集合. （ ）
（2）根据函数定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y. （ ）
（3）y = $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{1 - x}}$是函数. （ ）

答案： （1）×　提示:定义域和值域可以是有限集也可以是无限集.
　（2）×　提示:根据函数的定义可知，对于定义域中的一个$x$值在值域中只有唯一的一个$y$值和它对应.
　（3）×　提示:因为函数的定义域为空集，所以不是函数.

类型一 函数关系的判断（数学抽象）
【典例】（2024·东营高一检测）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.
（1）A = R，B = {x|x＞0}，f：x→y = |x|；
（2）A = Z，B = Z，f：x→y = x²；
（3）A = Z，B = Z，f：x→y = $\sqrt{x}$；
（4）A = {x|-1≤x≤1}，B = {0}，f：x→y = 0.

■即学即练
（2024·锦州高一检测）设M = {x|0≤x≤2}，N = {y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（ ）

答案： [典例][解析]
(1)$A$中的元素$0$在$B$中没有对应元素，故不是集合$A$到集合$B$的函数.
(2)对于集合$A$中的任意一个整数$x$，按照对应关系$f:x→y = x^{2}$在集合$B$中都有唯一一个确定的整数$x^{2}$与其对应，故是集合$A$到集合$B$的函数.
(3)集合$A$中的负整数没有平方根，故在集合$A$中有剩余的元素，故不是集合$A$到集合$B$的函数.
(4)对于集合$A$中任意一个实数$x$，按照对应关系$f:x→y = 0$在集合$B$ 中都有唯一一个确定的数$0$和它对应，故是集合$A$到集合$B$的函数.
[即学即练]
$B$　由题意，$M$为定义域，值域为$N$的子集.
$A$项，图象中定义域范围有误，不符合;
$B$项，满足从集合$M$到集合$N$的函数关系，符合;
$C$项，图象中值域不为集合$N$的子集，不符合;
$D$项，由函数定义域内任意自变量有且仅有唯一函数值与之对应，图象存在一个$x$对应两个$y$值情况，不符合.