《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

能使方程 的未知数的值

答案： 左右两边相等

＞教材挖掘(P48想一想)
一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？

答案： 不一定. 可以有两个，也可以有一个或一个也没有.

明辨是非
（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）$(a + 1)^{2}-(a - 1)^{2}=4a$. （ ）
（2）因式分解过程为$x^{2}-3xy - 4y^{2}=(x + y)(x - 4)$. （ ）
（3）用因式分解法解方程时部分过程为$(x + 2)(x - 3)=6$，所以$x + 2 = 3$或$x - 3 = 2$. （ ）
（4）若$x = y$，则$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$. （ ）

答案：
(1)√ 提示：$(a + 1)^2-(a - 1)^2=[(a + 1)-(a - 1)][(a + 1)+(a - 1)]=2×2a = 4a$.
(2)× 提示：$x^2-3xy - 4y^2=(x + y)(x - 4y)$.
(3)× 提示：用因式分解法解方程时，右边必须为0，不为0时，需移项后，再因式分解.
(4)× 提示：由等式的性质知，若 $x = y$，则 $\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$ 的前提条件是 $a\neq0$.

类型一 等式的性质与恒等式(数学抽象)
【典例】1.(多选题)下列式子中变形正确的是 （ ）
A.若$3x - 1 = 2x + 1$，则$x = 0$
B.若$ac = bc$，则$a = b$
C.若$\frac{c}{ab}=\frac{d}{af}$，则$\frac{c}{b}=\frac{d}{f}$
D.若$\frac{y}{5}=\frac{x}{5}$，则$y = x$
2.(2024·抚顺高一检测)下列等式中，属于恒等式的是 （ ）
A.$x^{2}=0$ B.$x + y = 0$
C.$\frac{1}{xy}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}$ D.$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}$
3.若多项式$x^{2}+kx - 24$可以因式分解为$(x - 3)(x + 8)$，则实数$k$的值为 （ ）
A.5 B.-5
C.11 D.-11
4.先化简，再求值：$(2x + y)^{2}+(x - y)(x + y)-5x(x - y)$，其中$x = 1$，$y = -1$.

答案： 1. CD 对于A选项，两边同时减 $(2x - 1)$，得到 $x = 2$，故A不正确；
对于B选项，没有说明 $c\neq0$，故B不正确；
对于C选项，在等式两边同时乘以 $a(a\neq0)$，得到 $\frac{c}{b}=\frac{d}{f}$，故C正确；
对于D选项，在等式两边同时乘以5得到 $y = x$，故D正确.
2. C 对于A，$x = 1$ 时，$x^2\neq0$，故A错误；
对于B，取 $x = 0$，$y = 1$，$x + y = 1\neq0$，故B错误；
对于C，$\frac{1}{xy}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}(x\neq0,y\neq0)$，故C正确；
对于D，取 $x = y = - 1$，可得 $\sqrt{xy}=1$，此时 $\sqrt{x}$ 与 $\sqrt{y}$ 均无意义，故D错误.
3. A 由题意得 $x^2+kx - 24=(x - 3)(x + 8)=x^2+5x - 24$. 所以 $k = 5$.
4.【解析】原式 $=4x^2+4xy + y^2+x^2 - y^2-5x^2+5xy = 9xy$. 当 $x = 1$，$y = - 1$ 时，原式 $=9xy=-9$.