《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】1.(2024·德州高一检测)当$x＞0,y＞0$，且满足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3$时，有$2x + y＞k^{2}+k - 3$恒成立，则$k$的取值范围为（ ）
A.$\{k|-4＜k＜3\}$
B.$\{k|-4\leq k\leq3\}$
C.$\{k|-3＜k＜2\}$
D.$\{k|-3\leq k\leq2\}$

答案： C　由已知$2x + y=\frac{1}{3}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y})(2x + y)=\frac{1}{3}(5+\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x})\geq\frac{1}{3}(5 + 2\sqrt{\frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{x}})=3$，当且仅当$x = y = 1$时等号成立，即$2x + y$的最小值是3，所以$k² + k - 3\lt3$，解得$-3\lt k\lt2$.

2.(2023·沈阳高一检测)已知关于$x$的一元二次不等式$mx^{2}-3x + 1＜0$的解集为$(a,b)$，且对于任意的正实数$a,b,a + 4b\geq k^{2}+k + 3$恒成立，则实数$k$的取值范围是（ ）
A.$[-3,2]$
B.$(-\infty,-1]\cup[0,+\infty)$
C.$[-2,3]$
D.$[-1,0]$

答案： D　因为关于$x$的一元二次不等式$mx² - 3x + 1\lt0$的解集为$(a,b)$，$m\gt0$
　所以$a + b=\frac{3}{m}$，所以$a + b = 3ab$，所以$\frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = 1$，
　　　$ab=\frac{1}{m}$
　因为$a + 4b=(a + 4b)\times\frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{3}(5+\frac{4b}{a}+\frac{a}{b})\geq\frac{1}{3}(5 + 2\sqrt{\frac{4b}{a}\cdot\frac{a}{b}})=3$，当且仅当$a = 2b$时等号成立，所以$(a + 4b)_{min}=3$，由$a + 4b\geq k² + k + 3$恒成立得$3\geq k² + k + 3$，
　所以$k² + k\leq0$，解得$-1\leq k\leq0$.所以实数$k$的取值范围是$[-1,0]$.

3.(2024·青岛高一检测)已知实数$a,b$满足$a＞b＞0$.
(1)若存在实数$a,b$使得$m\geq\frac{a}{a - b}+\frac{a}{b}$成立，求实数$m$的最小值；
(2)若$a + b-(a + 2\sqrt{2ab})n\geq0$恒成立，求实数$n$的取值范围.

答案： [解析]
(1)因为$a\gt b\gt0$，所以$a - b\gt0$.
　又存在$a,b$使得$m\geq\frac{a}{a - b}+\frac{a}{b}$，$\frac{a}{a - b}+\frac{a}{b}=\frac{a - b + b}{a - b}+\frac{a - b + b}{b}=1+\frac{b}{a - b}+\frac{a - b}{b}+1\geq2 + 2\sqrt{\frac{b}{a - b}\cdot\frac{a - b}{b}}=4$，
　当且仅当$\frac{b}{a - b}=\frac{a - b}{b}$，即$a - b = b$，即$a = 2b$时等号成立，
　所以$m\geq4$，故实数$m$的最小值为4.
(2)因为$a\gt b\gt0$，$a + b-(a + 2\sqrt{2ab})n\geq0$，
　所以$a + b\geq(a + 2\sqrt{2ab})n$，则$n\leq\frac{a + b}{a + 2\sqrt{2ab}}$
　易知$a + 2b\geq2\sqrt{2ab}$，当且仅当$a = 2b\gt0$时等号成立，
　可得$\frac{a + b}{a + 2\sqrt{2ab}}\leq\frac{a + b}{a + a + 2b}=\frac{1}{2}$，
　所以$n\leq\frac{1}{2}$，所以实数$n$的取值范围为$(-\infty,\frac{1}{2}]$.

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1.(2024·泰安高一检测)设$x＞0,y＞0$，且不等式$(ax + y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq5 + 2\sqrt{a}$恒成立，则正实数$a$的取值范围是（ ）
A.$\{a|0＜a\leq4\}$
B.$\{a|0＜a\leq2\}$
C.$\{a|a\geq4\}$
D.$\{a|a\geq2\}$

答案： C　由题意可知$x\gt0$，$y\gt0$，$a\gt0$，则$(ax + y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=a+\frac{ax}{y}+\frac{y}{x}+1\geq a + 1 + 2\sqrt{a}$，当且仅当$\frac{ax}{y}=\frac{y}{x}$，即$y=\sqrt{ax}$时等号成立；
　由题意可得$a + 1 + 2\sqrt{a}\geq5 + 2\sqrt{a}$，解得$a\geq4$.

2.已知$x＞0,y＞0$且$x + y = 1$，
(1)当$x$取什么值时，$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}$取得最小值？最小值是多少？
(2)若$15x + 1 - mxy\geq0$恒成立，求实数$m$的最大值.

答案： [解析]
(1)因为$x\gt0$，$y\gt0$，$x + y = 1$，所以$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=(x + y)(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})=10+\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}\geq10 + 2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{9x}{y}}=16$，
　当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{9x}{y}$，即$x=\frac{1}{4}$，$y=\frac{3}{4}$时等号成立，
　所以$x=\frac{1}{4}$时，$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}$取得最小值，$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}$的最小值为16；
(2)由$15x + 1 - mxy\geq0$恒成立，
　得$m\leq\frac{15x + 1}{xy}$恒成立，则需解出$\frac{15x + 1}{xy}$的最小值.
　因为$x + y = 1$，所以$\frac{15x + 1}{xy}=\frac{15x + x + y}{xy}=\frac{16x + y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{16}{y}$
　又因为$\frac{1}{x}+\frac{16}{y}=(x + y)(\frac{1}{x}+\frac{16}{y})=17+\frac{y}{x}+\frac{16x}{y}\geq17 + 2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{16x}{y}}=25$，当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{16x}{y}$，即$x=\frac{1}{5}$，$y=\frac{4}{5}$时等号成立，所以$\frac{15x + 1}{xy}$的最小值为25.所以$m\leq25$，所以$m$的最大值是25.