《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

2. (2024·潍坊高一检测)已知关于x的方程$3x^{2} - 2(3k + 1)x + 3k^{2} - 1 = 0$，根据下列条件，分别求出k的值.
(1)有一根为0；
(2)有两个互为相反数的实根；
(3)两根互为倒数.

答案： 2.[解析]
(1)依题意原方程有实数根，
　所以△=4(3k+1)2−12(3k²−1)≥0,解得k≥−$\frac{2}{3}$;
　将x=0代人方程得3k²−1=0,k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
(2)两根之和为0,即$\frac{2(3k+1)}{3}$=0=→k=−$\frac{1}{3}$,显然满足k≥一$\frac{2}{3}$;
(3)因为两根互为倒数，所以两根之积为1，即$\frac{3k²−1}{3}$=1→k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,而k≥−$\frac{2}{3}$,所以k=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

【典例】1. （2024·济宁高一检测）已知$0 ＜ a - b ＜ 2$，$2 ＜ a + b ＜ 4$，则$3a + b$的范围是（ ）
A. $(4,8)$
B. $(6,10)$
C. $(4,10)$
D. $(6,12)$

答案： [典例]1.C　设3a+b=x(a−b)+y(a+b)=(x+y)a+(y−x)b,
　得{xy+−xy==31,解得{xy=21,所以3a+b=((a−b)+2((α+6)),
　因为0＜a−b＜2,2＜a+b＜4,所以4＜2(a+b)＜8,4＜(a−b)+2(a+b)＜10,所以3a+b的范围是(4,10).

2. 已知下列四个命题：
（1）若$a ＞ b$，$c ＞ d$，则$a - d ＞ b - c$；
（2）若$a^{2}x ＞ a^{2}y$，则$x ＞ y$；
（3）若$a ＞ b$，则$\frac{1}{a - b} ＞ \frac{1}{a}$；
（4）若$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} ＜ 0$，则$ab ＜ b^{2}$.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 2.C　对于
(1),由a＞b,c＞d,得−d＞−c,
　由不等式的性质知,a一d＞b一c,故命题
(1)正确;
　对于
(2),由a²x＞α²y知,a²＞0,由不等式的性质知,x＞y,故命题
(2)
　正确;
　对于
(3)，$\frac{1}{a−b}$−$\frac{1}{a}$$\frac{6}{a(a−b)}$,
　若a,b同号，由α−b＞0得$\frac{6}{a(a−b)}$＞o,
　若a,b异号，由a−b＞0得$\frac{b}{a(a−b)}$＜0,故命题
(3)错误;
　对于
(4)，由$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$＜0,得b＜a＜0,则b²＞ab,故命题
(4)正确.

即学即练
1. （2024·沈阳高一检测）已知$0 \leq a - b \leq 1$，$2 \leq a + b \leq 4$，则$4a - 2b$的取值范围是（ ）
A. $1 \leq 4a - 2b \leq 5$
B. $2 \leq 4a - 2b \leq 7$
C. $1 \leq 4a - 2b \leq 6$
D. $0 \leq 4a - 2b \leq 9$

答案： [即学即练]
1.B　设4a−2b=m(a−b)+n(a+b)=(m+n)a−(m−n)b,
　所以{mm+−nn==42,解得{mn二;,所以4a−2b=3(a−b)+(a+b),
　又a−b∈[0,1],a+b∈[2,4],
　所以3(a−b)∈[0,3],4a−2b∈[2,7],故A,C,D错误.

2. （多选题）（2024·大连高一检测）已知实数a，b，c，d满足$\sqrt{a} ＜ \sqrt{b} ＜ \sqrt{c} ＜ \sqrt{d}$，则（ ）
A. $a + d ＜ b + c$
B. $a - d ＜ b - c$
C. $ac ＜ bd$
D. $\frac{a}{d} ＜ \frac{b}{c}$

答案： 2.BCD　当α=0,b=1,c=2,d=3时,满足条件$\sqrt{a}$＞$\sqrt{6}$＜$\sqrt{d}$,
　此时a+d=b+c,A项错误;
由$\sqrt{a}$$\sqrt{6}$＜$\sqrt{d}$,得0≤a＜b＜c＜d,
　则−d＜−c,a＜b,所以a−d＜b−c,B项正确;
　由0≤a＜b,0＜c＜d,得ac＜bd,C项正确;
　由0＜c＜d,得$\frac{1}{cd}$＞0,所以0＜c.$\frac{1}{cd}$＜d.$\frac{1}{cd}$,则0＜$\frac{1}{d}$＜$\frac{1}{c}$,
　又0≤a＜b,所以$\frac{a}{d}$＜$\frac{b}{c}$,D项正确.

【典例】1. （2024·泰安高一检测）不等式$\frac{x + 3}{4 - x} \geq 0$的解集为（ ）
A. $[-3,4]$
B. $[-3,4)$
C. $(-\infty,-3) \cup (3, +\infty)$
D. $(-\infty,-3] \cup (4, +\infty)$

答案： [典例]1.B　$\frac{x+3}{4−x}$≥0等价于{4(x−+x3≠)0(4−x)≥0,解得x∈[−3,4).

2. 在R上定义运算$\odot$：$A\odot B = A(1 - B)$，若不等式$(x - a)\odot(x + a) ＜ 1$对任意$x \in R$恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. $(-1,1)$
B. $(0,2)$
C. $(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$
D. $(-\frac{3}{2},\frac{1}{2})$

答案： 2.C　因为(x−−a)⊙(x+a)=(x−a)(1−x−a),
　所以不等式(x−α)⊙(x十α)＜1,
　即(x−α)(1−x−a)＜1对任意实数x恒成立，
　即x²−x−α²+α+1＞0对任意实数x恒成立，
　所以A=1−4(−a²+a+1)＜0,解得一$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$.