《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】已知全集$U = \mathbf{R}$，集合$A = \{x|x\leqslant - 2或x\geqslant3\}$，$B = \{x|2m + 1\lt x\lt m + 7\}$，若$(\complement_U A)\cap B = B$，求实数$m$的取值范围.

答案： 【解析】因为$A = \{x|x\leqslant - 2或x\geqslant3\}$，所以$\complement_U A = \{x|-2\lt x\lt3\}$.因为$(\complement_U A)\cap B = B$，所以$B\subseteq(\complement_U A)$.当$B = \varnothing$时，即$2m + 1\geqslant m + 7$，所以$m\geqslant6$，满足$(\complement_U A)\cap B = B$.当$B\neq\varnothing$时，由$\begin{cases}2m + 1\lt m + 7 \\2m + 1\geqslant - 2 \\m + 7\leqslant3\end{cases}$，无解，故$m$的取值范围是$\{m|m\geqslant6\}$.

（2024·东营高一检测）已知集合$A = \{x|x\lt - 3或x\gt7\}$，$B = \{x|m + 1\leqslant x\leqslant2m - 1\}$.
（1）若$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cup B = \complement_{\mathbf{R}}A$，求$m$的取值范围；
（2）若$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cap B = \{x|a\leqslant x\leqslant b\}$，且$b - a\geqslant1$，求$m$的取值范围.

答案： 【解析】
(1)由题意知：$\complement_{\mathbf{R}}A = \{x|-3\leqslant x\leqslant7\}$；因为$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cup B = \complement_{\mathbf{R}}A$，所以$B\subseteq(\complement_{\mathbf{R}}A)$；①当$B = \varnothing$，即$m + 1\gt2m - 1$时，满足$B\subseteq(\complement_{\mathbf{R}}A)$，此时$m\lt2$；②当$B\neq\varnothing$时，若$B\subseteq(\complement_{\mathbf{R}}A)$，则$\begin{cases}m + 1\leqslant2m - 1 \\m + 1\geqslant - 3 \\2m - 1\leqslant7\end{cases}$，解得$2\leqslant m\leqslant4$；综上所述，$m$的取值范围为$\{m|m\leqslant4\}$.
(2)因为$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cap B = \{x|a\leqslant x\leqslant b\}$，$b - a\geqslant1$，所以$B\neq\varnothing$，即$m + 1\leqslant2m - 1$，解得$m\geqslant2$，所以$m + 1\geqslant3$，$2m - 1\geqslant3$；①当$2m - 1\leqslant7$，即$m\leqslant4$时，$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cap B = \{x|m + 1\leqslant x\leqslant2m - 1\}$，所以$2m - 1-(m + 1)\geqslant1$，解得$3\leqslant m\leqslant4$；②当$\begin{cases}2m - 1\gt7 \\m + 1\leqslant7\end{cases}$，即$4\lt m\leqslant6$时，$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cap B = \{x|m + 1\leqslant x\leqslant7\}$，所以$7-(m + 1)\geqslant1$，解得$4\lt m\leqslant5$；③当$m + 1\gt7$，即$m\gt6$时，$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cap B = \varnothing$，不合题意；综上所述，$m$的取值范围为$\{m|3\leqslant m\leqslant5\}$.

【典例】1.（多选题）（2024·青岛高一检测）已知全集$U$，集合$A$，$B$是$U$的子集，且$A\cap B = B$，则下列结论中正确的是（ ）
A. $A\cup B = A$ B. $\complement_U B\subseteq\complement_U A$
C. $B\cap(\complement_U A)=\varnothing$ D. $(\complement_U A)\cup(\complement_U B)=U$

答案：
1. AC 因为$A\cap B = B$，所以$B\subseteq A$， 对于A，由$B\subseteq A$，可得$A\cup B = A$，A正确；对于B，由$B\subseteq A$，故$\complement_U B\supseteq\complement_U A$，B错误；对于C，因为$B\subseteq A$，$\complement_U B\supseteq\complement_U A$，则$B\cap(\complement_U A)=\varnothing$，C正确；对于D，由于$\complement_U B\supseteq\complement_U A$，故$(\complement_U A)\cup(\complement_U B)=\complement_U A$，D错误

2. 某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A项公益活动的有28人，参加B项公益活动的有33人，且A，B两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A项不参加B项的有（ ）
A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人

答案：
2. D 如图所示，设$A$，$B$两项公益活动都参加的有$x$人， 则仅参加$A$项的有$(28 - x)$人，仅参加$B$项的有$(33 - x)$人，$A$，$B$两项公益活动都不参加的有$(\frac{1}{3}x + 1)$人，由题意得$x+(28 - x)+(33 - x)+(\frac{1}{3}x + 1)=50$，解得$x = 18$，所以只参加$A$项不参加$B$项的有$28 - 18 = 10$（人）.