《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【例1】(2024·潍坊高一检测)在(1)：充分不必要条件，(2)：充要条件这两个条件中选择一个补充在下面的问题，若问题中的m存在，求m的取值范围；若问题中的m不存在，说明理由.
已知集合A = {x|-2≤x≤7}，B = {x|m + 1≤x≤2m - 1}，是否存在实数m，使得x∈A是x∈B的__________？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

答案： 选
(1)：若$x\in A$是$x\in B$的充分不必要条件，则$A$是$B$的真子集，故$\begin{cases}m + 1\leqslant - 2\\2m - 1\geqslant 7\end{cases}$且等号不同时成立，即$\begin{cases}m\leqslant - 3\\m\geqslant 4\end{cases}$，无解，故不存在实数$m$，使得$x\in A$是$x\in B$的充分不必要条件.
选
(2)：若$x\in A$是$x\in B$的充要条件，则$A = B$，故$\begin{cases}m + 1 = - 2\\2m - 1 = 7\end{cases}$，无解，故不存在实数$m$，使得$x\in A$是$x\in B$的充要条件.

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已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________.

答案： $(-\infty,1)$ $(-\infty,1]$

【例2】(2024·丹东高一检测)已知命题p：∀x∈[2，3]，x² - a≥0，命题q：∃x∈R，x² + 2ax + 2a = 0.
(1)若命题¬p为假命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p和¬q均为真命题，求实数a的取值范围.

答案：
(1)若命题$\neg p$为假命题，则命题$p$为真命题，即$a\leqslant x^{2}$在$x\in[2,3]$时恒成立，所以$a\leqslant(x^{2})_{\min}=4$，即实数$a$的取值范围是$(-\infty,4]$.
(2)当命题$q$为真命题时，因为$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+2ax + 2a = 0$，所以$\Delta = 4a^{2}-8a\geqslant0$，解得$a\leqslant0$或$a\geqslant2$，因为$\neg q$为真命题，则$0 ＜ a ＜ 2$，又由
(1)可知，命题$p$为真命题时$a\leqslant4$，所以$a\leqslant4$且$0 ＜ a ＜ 2$，即实数$a$的取值范围是$(0,2)$.