《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

教材挖掘
1.怎样解三元一次方程组？
2.怎样解方程组的实际应用问题？

答案： 1. 提示：解三元一次方程组是先消元得二元一次方程组，再进行二次消元得一元一次方程，得出结果.
2. 提示：列方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步.
(1) 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知数；
(2) 找：找出题目中的两个相等关系；
(3) 列：根据两个相等关系列出代数式，从而列出方程组；
(4) 解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
(5) 答：在对求出的方程的解作出是否合理的判断的基础上，写出答案.

明辨是非（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)方程1+$\frac{1}{x}$=-2是一元一次方程.( )
(2)$\begin{cases}x = 2,\\y = -3,\\z = -3\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x + y - 2z = 5,\\2x - y + z = 4,\\2x + y - 3z = 10\end{cases}$的解.( )
(3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少.( )

答案：
(1) × 提示：方程$1+\frac{1}{x}=-2$是分式方程，不是一元一次方程.
(2) √ 提示：经代入验证，知$\begin{cases}x = 2\\y = -3\\z = -3\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x + y - 2z = 5\\2x - y + z = 4\\2x + y - 3z = 10\end{cases}$的解.
(3) × 提示：解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法.

【典例】求方程组$\begin{cases}2x + 3y = -1①,\\4x - y = 5②\end{cases}$的解集.

答案： 方法一：由②得$y = 4x - 5$③.把③代入①，得$2x + 3(4x - 5)=-1$.解这个一元一次方程，得$x = 1$.把$x = 1$代入③，得$y = -1$.所以原方程组的解集为$\{(1,-1)\}$.
方法二：由①得$3y=-2x - 1$，即$y=\frac{-2x - 1}{3}$③，把③代入②，得$4x-\frac{-2x - 1}{3}=5$，解这个一元一次方程，得$x = 1$，把$x = 1$代入③，得$y = -1$.所以原方程组的解集为$\{(1,-1)\}$.

即学即练
若关于x，y的方程组$\begin{cases}ax + 5y = 7,\\3x - by = c\end{cases}$的解集为{(2，1)}，则a + b + c =（ ）
A.1
B.5
C.6
D.7

答案： D 由题意，将$x = 2$，$y = 1$代入方程组得$\begin{cases}2a + 5 = 7\\6 - b = c\end{cases}$，则$a = 1$，$b + c = 6$，故$a + b + c = 7$.