《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

2.（2024·潍坊高一检测）函数$f(2x + 1)=x^{2}-3x + 1$，则$f(3)=$ （ ）
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2

答案： 2.A　设$2x + 1 = 3$，得$x = 1$，则$f(3)=1 - 3 + 1=-1$.

3. 已知函数$f(x)=\sqrt{x + 3}+\frac{1}{x + 2}$，
（1）求函数的定义域；
（2）求$f(-3),f(\frac{2}{3})$的值；
（3）若$a＞0$，求$f(a),f(a - 1)$的值.

答案： 3.[解析]
(1)要使函数有意义，需$\begin{cases}x + 3\geq0\\x + 2\neq0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\geq - 3\\x\neq - 2\end{cases}\Rightarrow - 3\leq x＜ - 2$或$x＞ - 2$，所以函数的定义域为$[-3,-2)\cup(-2,+\infty)$.
(2)$f(x)=\sqrt{x + 3}+\frac{1}{x + 2}$，所以$f(-3)=0+\frac{1}{-3 + 2}=-1$，$f(\frac{2}{3})=\sqrt{\frac{2}{3}+3}+\frac{1}{\frac{2}{3}+2}=\frac{\sqrt{33}}{3}+\frac{3}{8}$.
(3)因为$a＞0$，所以$a - 1＞ - 1$，
所以$f(a)=\sqrt{a + 3}+\frac{1}{a + 2}$，$f(a - 1)=\sqrt{a + 2}+\frac{1}{a + 1}$.

即学即练
1. 若函数$g(x - 1)=2x^{2}+x$，则$g(2)$的值是 （ ）
A. 10
B. 11
C. 20
D. 21

答案： 1.D　由函数$g(x - 1)=2x^{2}+x$，
令$x - 1 = 2$，可得$x = 3$，所以$g(2)=g(3 - 1)=2\times3^{2}+3 = 21$.

2. 已知$f(x)=2x + a,g(x)=\frac{1}{4}(x^{2}+3)$，若$g(f(x))=x^{2}+x + 1$，求$a$的值.

答案： 2.[解析]因为$g(f(x))=g(2x + a)=\frac{1}{4}[(2x + a)^{2}+3]=x^{2}+ax+\frac{1}{4}(a^{2}+3)=x^{2}+x + 1$，所以$\begin{cases}a = 1\\\frac{1}{4}(a^{2}+3)=1\end{cases}$，所以$a = 1$.

【典例】（1）已知函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，求$f(x^{2}+1)$的定义域；
（2）已知函数$f(2x - 1)$的定义域为$[0,1)$，求$f(1 - 3x)$的定义域.

答案： [典例][解析]
(1)因为函数$f(x^{2}+1)$中的$x^{2}+1$相当于函数$f(x)$中的$x$，所以$0\leq x^{2}+1\leq1$，即$-1\leq x^{2}\leq0$，所以$x = 0$，故$f(x^{2}+1)$的定义域为$\{x|x = 0\}$.
(2)因为$f(2x - 1)$的定义域为$[0,1)$，即$0\leq x＜1$，所以$-1\leq2x - 1＜1$.故$f(x)$的定义域为$[-1,1)$，所以$-1\leq1 - 3x＜1$.
解得$0＜x\leq\frac{2}{3}$，所以$f(1 - 3x)$的定义域为$(0,\frac{2}{3}]$.