《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

即学即练
1. 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A. ac＜bd
B. ac＞bd
C. $\frac{b}{d}＞\frac{a}{c}$
D. $\frac{b}{d}＜\frac{a}{c}$

答案： A　因为 $a＞b＞0,-c＞-d＞0$，所以 $-ac＞-bd$，所以 $ac＜bd$，故 A 正确，B 错误；当 $a = 2,b = 1,c=-2,d=-1$ 时，$\frac{b}{d}=\frac{a}{c}=-1$，故 C，D 错误.

2. 已知a，b∈R且满足$\begin{cases}1\leqslant a + b\leqslant 3 \\ -1\leqslant a - b\leqslant 1\end{cases}$，则4a + 2b的取值范围是（ ）
A. [0，12]
B. [4，10]
C. [2，10]
D. [2，8]

答案： C　设 $4a + 2b=A(a + b)+B(a - b)$，可得 $\begin{cases}A + B = 4\\A - B = 2\end{cases}$，解得 $\begin{cases}A = 3\\B = 1\end{cases}$，所以 $4a + 2b=3(a + b)+a - b$，因为 $\begin{cases}1\leqslant a + b\leqslant3\\-1\leqslant a - b\leqslant1\end{cases}$，可得 $\begin{cases}3\leqslant3(a + b)\leqslant9\\-1\leqslant a - b\leqslant1\end{cases}$，所以 $2\leqslant4a + 2b\leqslant10$.

3.（2024·泰安高一检测）已知1＜a＜3，2＜b＜4，则$\frac{a}{b}$的取值范围是__________.

答案： [解析]因为 $2＜b＜4$，所以 $\frac{1}{4}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{2}$，又因为 $1＜a＜3$，所以 $\frac{1}{4}＜\frac{a}{b}＜\frac{3}{2}$，所以 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{4},\frac{3}{2})$. 答案：$(\frac{1}{4},\frac{3}{2})$

角度1 利用综合法证明不等式
【典例】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：$\frac{e}{a - c}＞\frac{e}{b - d}$.

答案： 方法一:因为 $c＜d＜0$，所以 $-c＞-d＞0$. 又 $a＞b＞0$，所以 $a - c＞b - d＞0$，所以 $0＜\frac{1}{a - c}＜\frac{1}{b - d}$. 因为 $e＜0$，所以 $\frac{e}{a - c}＞\frac{e}{b - d}$，不等式得证.
方法二: $\frac{e}{a - c}-\frac{e}{b - d}=\frac{e[(b - d)-(a - c)]}{(a - c)(b - d)}=\frac{e[(b - a)+(c - d)]}{(a - c)(b - d)}$. 因为 $a＞b＞0,c＜d＜0$，所以 $-c＞-d＞0$. 所以 $a - c＞0,b - d＞0,b - a＜0,c - d＜0$. 所以 $\frac{(b - a)+(c - d)}{(a - c)(b - d)}＜0$，又因为 $e＜0$，所以 $\frac{e[(b - a)+(c - d)]}{(a - c)(b - d)}＞0$，所以 $\frac{e}{a - c}＞\frac{e}{b - d}$

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（2024·大连高一检测）（1）证明：∀x，y∈R，$x^{4}+y^{2}\geqslant x^{2}y$；
（2）已知a＞b＞c＞d＞0，证明：$\sqrt{\frac{d}{a - d}}＜\sqrt{\frac{c}{b - c}}$.

答案： [证明]
(1)$x^{4}+y^{2}-x^{2}y=x^{4}+\frac{1}{4}y^{2}-x^{2}y+\frac{3}{4}y^{2}=(x^{2}-\frac{1}{2}y)^{2}+\frac{3}{4}y^{2}$，因为 $(x^{2}-\frac{1}{2}y)^{2}\geqslant0,\frac{3}{4}y^{2}\geqslant0$. 所以 $(x^{2}-\frac{1}{2}y)^{2}+\frac{3}{4}y^{2}\geqslant0$，则 $x^{4}+y^{2}-x^{2}y\geqslant0$，故 $\forall x,y\in R,x^{4}+y^{2}\geqslant x^{2}y$（当且仅当 $x = 0,y = 0$ 时取等号）.
(2)因为 $a＞b＞c＞d＞0$，所以 $-d＞-c$，所以 $a - d＞b - c＞0$，则 $\frac{1}{(a - d)(b - c)}＞0$，所以 $(a - d)\cdot\frac{1}{(a - d)(b - c)}＞(b - c)\cdot\frac{1}{(a - d)(b - c)}＞0$，即 $\frac{1}{b - c}＞\frac{1}{a - d}＞0$，又 $c＞d＞0$，所以 $\frac{c}{b - c}＞\frac{d}{a - d}＞0$，故 $\sqrt{\frac{d}{a - d}}＜\sqrt{\frac{c}{b - c}}$