《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

1.(2024·日照高一检测)设函数$f(x) = \begin{cases}f(x - 1),x\geqslant0,\\x^{3}-1,x＜0,\end{cases}$则$f(f(1)) = $( )
A. -2
B. -9
C. -10
D. -11

答案： B 因为$1＞0$，故$f(1)=f(0)$，又$0\geqslant0$成立，故$f(0)=f(-1)$，又因为$-1＜0$，所以$f(-1)=(-1)^{3}-1=-2$，所以$f(f(1))=f(f(0))=f(f(-1))=f(-2)$，因为$-2＜0$，所以$f(-2)=(-2)^{3}-1=-9$.

2.(2024·青岛高一检测)设函数$f(x) = \begin{cases}-x,x\leqslant0,\\x^{2},x＞0,\end{cases}$若$f(a) = 4$，则实数$a = $( )
A. 2
B. -2
C. -4或2
D. -4

答案： C 由于$f(x)=\begin{cases}-x,x\leqslant0\\ x^{2},x ＞ 0\end{cases}$，故当$a\leqslant0$时，$-a = 4$，则$a=-4$，当$a＞0$时，令$a^{2}=4$，则$a = 2$，故实数$a=-4$或2.

3. 已知函数$f(x) = \begin{cases}-x - 1,-1\leqslant x＜0,\\-x + 1,0＜x\leqslant1\end{cases}$，则$f(x)-f(-x)＞-1$的解集为( )
A. $\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2},1\right)$
B. $\left[-1,-\dfrac{1}{2}\right)\cup(0,1]$
C. $\left[-1,-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2},1\right]$
D. $\left[-1,-\dfrac{1}{2}\right]\cup(0,1)$

答案： B 当$0＜x\leqslant1$时，$-1\leqslant -x＜0$，则$f(x)-f(-x)＞-1$可化为$-x + 1-(x - 1)＞-1$，解得$x＜\frac{3}{2}$，又$0＜x\leqslant1$，所以$0＜x\leqslant1$.当$-1\leqslant x＜0$时，$0＜-x\leqslant1$，则$f(x)-f(-x)＞-1$可化为$-x - 1-(x + 1)＞-1$，解得$x＜-\frac{1}{2}$，又$-1\leqslant x＜0$，所以$-1\leqslant x＜-\frac{1}{2}$.综上，$x\in[-1,-\frac{1}{2})\cup(0,1]$.

1.(2024·济南高一检测)已知函数$f(x) = \begin{cases}x^{2}-1,x\geqslant1,\\x - 2,x＜1\end{cases}$，若$f(f(a)) = 3$，则$a = $( )
A. $\sqrt{3}$
B. 0
C. $\sqrt{3}$或0
D. $\pm\sqrt{3}$

答案： A $a\geqslant1$时，$f(a)=a^{2}-1$，则$f(f(a))=f(a^{2}-1)$，进一步分类讨论，$a^{2}-1\geqslant1$时，即$a\geqslant\sqrt{2}$时，$f(a^{2}-1)=(a^{2}-1)^{2}-1 = 3$，整理得$(a^{2}-1)^{2}=4$，根据条件得$a=\sqrt{3}$；$a^{2}-1＜1$时，即$1\leqslant a＜\sqrt{2}$时，$f(a^{2}-1)=(a^{2}-1)-2=a^{2}-3 = 3$，得$a^{2}=6$，不符合题意；$a＜1$时，$f(a)=a - 2＜-1$，所以$a＜1$时，有$f(f(a))=f(a - 2)=a - 4 = 3$，得$a = 7$，与题意不符.

2.(多选题)已知函数$f(x)=\begin{cases}x + 2,x\leqslant - 1\\x^{2},-1＜x＜2\end{cases}$，则( )
A. $f(0)=2$
B. $f(x)$的值域为$(-\infty,4)$
C. $f(x)＜1$的解集为$(-\infty,-1)\cup(-1,1)$
D. 若$f(x)=3$，则$x=\sqrt{3}$或1

答案： BC 对于A，$f(0)=0^{2}=0$，A错误；对于B，当$x\leqslant - 1$时，$f(x)=x + 2\leqslant - 1+2 = 1$；当$-1＜x＜2$时，$f(x)=x^{2}\in[0,4)$；所以$f(x)$的值域为$(-\infty,4)$，B正确；对于C，当$x\leqslant - 1$时，$f(x)=x + 2＜1$，解得：$x＜-1$；当$-1＜x＜2$时，$f(x)=x^{2}＜1$，解得：$-1＜x＜1$；所以$f(x)＜1$的解集为$(-\infty,-1)\cup(-1,1)$，C正确；对于D，当$x\leqslant - 1$时，$f(x)=x + 2 = 3$，解得：$x = 1$(舍)；当$-1＜x＜2$时，$f(x)=x^{2}=3$，解得：$x=-\sqrt{3}$(舍)或$x=\sqrt{3}$；所以$f(x)=3$的解为$x=\sqrt{3}$，D错误.

分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域.
（1）$y = \begin{cases}\dfrac{1}{x},0＜x＜1,\\x,x\geqslant1.\end{cases}$
（2）$y = \begin{cases}3,x＜-2,\\-3x,-2\leqslant x＜2,\\-3,x\geqslant2.\end{cases}$

答案：
各函数对应的图象如图所示:

由图象知，
(1)的定义域是$(0,+\infty)$，值域是$[1,+\infty)$；
(2)的定义域是$(-\infty,+\infty)$，值域是$(-6,6]$.