《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】已知函数$y = f(x)$满足$f(x)=2f(\frac{1}{x})+x$，求$f(x)$的解析式.

答案： [解析]因为$f(x)=2f(\frac{1}{x})+x$，①
所以将$x$换成$\frac{1}{x}$，得$f(\frac{1}{x})=2f(x)+\frac{1}{x}$.②
由①②消去$f(\frac{1}{x})$，得$f(x)=-\frac{2}{3x}-\frac{x}{3}$，
即$f(x)=-\frac{x^{2}+2}{3x}(x\neq0)$.

即学即练
（1）已知$f(x)$是二次函数，且满足$f(0)=1$，$f(x + 1)=f(x)+2x$，求函数$f(x)$的解析式；
（2）已知$f(x)+2f(-x)=x^{2}-x$，求函数$f(x)$的解析式.

答案： [解析]
(1)设$f(x)=ax^{2}+bx + c$，$f(0)=c = 1$，
$f(x + 1)=a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+c=ax^{2}+(2a + b)x+a + b + 1$，
$f(x)+2x=ax^{2}+(b + 2)x + 1$.
由$f(x + 1)=f(x)+2x$可知$\begin{cases}2a + b=b + 2\\a + b + 1=1\end{cases}$，可得$\begin{cases}a = 1\\b=-1\end{cases}$，
故$f(x)=x^{2}-x + 1$.
(2)令$x=-x$可得$\begin{cases}f(x)+2f(-x)=x^{2}-x①\\f(-x)+2f(x)=x^{2}+x②\end{cases}$，
$2\times②-①$可得$3f(x)=x^{2}+3x$，故$f(x)=\frac{1}{3}x^{2}+x$.

教材挖掘
分段函数还是函数吗？它的三要素是什么？

答案： 是函数;
分段函数的三要素:①定义域:每一段上x的取值范围的并集.
②值域:所有函数值组成的集合.
③对应关系:在每一段上的对应关系不同.

明辨是非
（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）分段函数$y = \begin{cases}x,x\leqslant1,\\-x,x＞1\end{cases}$的定义域为$(-\infty,1]$. （ ）
（2）函数$y = |x|$不是分段函数. （ ）
（3）常数函数的图象是垂直于$x$轴的直线. （ ）

答案：
(1)×　提示:分段函数$y=\begin{cases}x,x\leqslant1\\ -x,x ＞ 1\end{cases}$的定义域为$(-\infty,1]\cup(1,+\infty)=\mathbf{R}$.
(2)×　提示:函数$y = |x|=\begin{cases}x,x\geqslant0\\ -x,x ＜ 0\end{cases}$是分段函数.
(3)×　提示:常数函数的图象是垂直于y轴的直线.