《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】求下列方程组的解集：
(1)$\begin{cases}3x - 7y = -1①,\\3x + 7y = 13②\end{cases}$；
(2)$\begin{cases}2x + 3y = 13①,\\5x + 4y = 22②\end{cases}$.

答案：
(1) 方法一（加法消元）：① + ②，得$6x = 12$，解得$x = 2$.把$x = 2$代入②，得$3×2 + 7y = 13$，解得$y = 1$.所以方程组的解集为$\{(2,1)\}$.
方法二（减法消元）：① - ②，得$-14y=-14$，解得$y = 1$.把$y = 1$代入①，得$3x - 7×1=-1$，解得$x = 2$.所以方程组的解集为$\{(2,1)\}$.
方法三（加减法消元）：① + ②，得$6x = 12$，解得$x = 2$.① - ②，得$-14y=-14$，解得$y = 1$.所以方程组的解集为$\{(2,1)\}$.
(2) ①×5 - ②×2，得$7y = 21$，解得$y = 3$，把$y = 3$代入①，整理得$2x = 4$，解得$x = 2$.所以方程组的解集为$\{(2,3)\}$.

即学即练
下列各组数是二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 1,\\2x + y = 5\end{cases}$的解的是（ ）
A.$\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = -2,\\y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 4,\\y = -3\end{cases}$

答案： D $\begin{cases}x + y = 1①\\2x + y = 5②\end{cases}$，② - ①得：$x = 4$，把$x = 4$代入①得：$y = -3$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = -3\end{cases}$.

【典例】（2024·青岛高一检测）解方程组$\begin{cases}x + y + z = 12①\\x + 2y + 5z = 22②\\x = 4y③\end{cases}$.

答案： 把③分别代入①②，得$\begin{cases}5y + z = 12\\6y + 5z = 22\end{cases}$，即$\begin{cases}25y + 5z = 60④\\6y + 5z = 22⑤\end{cases}$，④ - ⑤得，$19y = 38$，即$y = 2$，把$y = 2$代入⑤，得$12 + 5z = 22$，解得$z = 2$，把$y = 2$代入③，得$x = 4×2 = 8$.所以原方程组的解集为$\{(x,y,z)|(8,2,2)\}$.