《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】1.(2024·威海高一检测)全称量词命题“∀x＞0，x² - x + 1/4≥0”的否定是 （ ）
A.∀x≤0，x² - x + 1/4＜0
B.∃x＞0，x² - x + 1/4＜0
C.∃x≤0，x² - x + 1/4≥0
D.∀x＞0，x² - x + 1/4＜0

答案： B 因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“∀x＞0,x² - x + \frac{1}{4}≥0”的否定是∃x＞0,x² - x + \frac{1}{4}＜0.

2.写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
①p：对所有正数x，√x＞x + 1.
②q：任何一个实数除以1，仍等于这个数.
③r：所有被5整除的整数都是奇数.

答案： 【解析】
①¬p：存在正数 x, \sqrt{x}≤x + 1.
例如当 x = 1 时, \sqrt{x}＜x + 1,所以¬p 是真命题.
②¬q：存在一个实数除以 1，不等于这个数.
由 q 是真命题可知¬q 是假命题.
③¬r：存在一个被 5 整除的整数不是奇数.
例如 10 是能被 5 整除的整数且不是奇数，所以¬r 是真命题.

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（多选题）已知命题p：“∀x∈R，x² + 2x³ + x⁴≥0”，则 （ ）
A.¬p：∃x∈R，x² + 2x³ + x⁴＜0
B.¬p：∀x∈R，x² + 2x³ + x⁴＜0
C.p是假命题
D.p是真命题

答案： AD 因为命题为：“∀x∈R,x² + 2x³ + x⁴≥0”，
所以该命题的否定为“∃x∈R,x² + 2x³ + x⁴＜0”，A 正确，B 错误；
因为 x² + 2x³ + x⁴ = x²(x² + 2x + 1) = x²(x + 1)²≥0，
所以 p 是真命题，C 错误，D 正确.

【典例】(类题·节节高)
1.(2024·潍坊高一检测)命题“∃x∈R，x² - 2x + 3＜0”的否定是 （ ）
A.∃x∈R，x² - 2x + 3＞0
B.∃x∈R，x² - 2x + 3≥0
C.∀x∈R，x² - 2x + 3＜0
D.∀x∈R，x² - 2x + 3≥0

答案： D 根据“改量词，否结论”可得命题“∃x∈R,x² - 2x + 3＜0”的否定是“∀x∈R,x² - 2x + 3≥0”.

2.(2024·大连高一检测)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x²”的否定形式是 （ ）
A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x²
B.∀x∉R，∃n∈N*，使得n＜x²
C.∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x²
D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x²

答案： D 命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得 n≥x²”的否定形式是“∃x∈R,∀n∈N*,使得 n＜x²”.