《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

(2024·威海高一检测)已知二次函数$f(x)$满足$f(2)= - 1$，$f(1 - x)=f(x)$，且$f(x)$的最大值是8，则此二次函数的解析式为$f(x)=$（ ）
A. $- 4x^{2}+4x + 7$
B. $4x^{2}+4x + 7$
C. $- 4x^{2}-4x + 7$
D. $- 4x^{2}+4x - 7$

答案： A 根据题意，由f(1 - x)=f(x)得:f(x)图象的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，设二次函数为f(x)=a(x - $\frac{1}{2}$)²+k(a≠0)，
因为f(x)的最大值是8，所以a＜0，当x=$\frac{1}{2}$时，f($\frac{1}{2}$)=k = 8，
即二次函数f(x)=a(x - $\frac{1}{2}$)²+8(a＜0)，
由f
(2)= - 1得:f
(2)=a(2 - $\frac{1}{2}$)²+8=-1，解得:a = - 4，
则二次函数f(x)=-4(x - $\frac{1}{2}$)²+8=-4x²+4x + 7。

[例2](1)(2024·沈阳高一检测)已知函数$f(x^{2}-1)=x^{4}+1$，则函数$y = f(x)$的解析式是（ ）
A. $f(x)=x^{2}+2x + 2$，$x\geq0$
B. $f(x)=x^{2}+2x + 2$，$x\geq - 1$
C. $f(x)=x^{2}-2x + 2$，$x\geq0$
D. $f(x)=x^{2}-2x + 2$，$x\geq - 1$
(2)已知$f(\sqrt{x}+1)=x - 2\sqrt{x}$，则$f(x)=$__________.

答案：
(1)B f(x² - 1)=x⁴+1=[(x² - 1)+1]²+1，且x² - 1≥ - 1，所以f(x)=(x + 1)²+1=x²+2x + 2，x≥ - 1。
(2)[解析]方法一(换元法):令t=$\sqrt{x}$+1，则t≥1，x=(t - 1)²，代入原式有f(t)=(t - 1)²-2(t - 1)=t²-4t + 3，所以f(x)=x²-4x + 3(x ≥1)。
方法二(配凑法):f($\sqrt{x}$+1)=x + 2$\sqrt{x}$+1-4$\sqrt{x}$-4 + 3=($\sqrt{x}$+1)²-4($\sqrt{x}$+1)+3，
因为$\sqrt{x}$+1≥1，所以f(x)=x²-4x + 3(x≥1)。
答案:x²-4x + 3(x≥1)

已知函数$f(\frac{1}{x}+2)=x + 3$，则$f(6)$的值为（ ）
A. $\frac{7}{2}$
B. $\frac{13}{4}$
C. 4
D. $\frac{11}{4}$

答案： B 根据题意，函数f($\frac{1}{x}$+2)=x + 3，令$\frac{1}{x}$+2=t，x≠0，
解得x=$\frac{1}{t - 2}$，t≠2，所以f(t)=$\frac{1}{t - 2}$+3，t≠2，
所以f(x)=$\frac{1}{x - 2}$+3，x≠2，将x = 6代入上式，可得f
(6)=$\frac{13}{4}$。

[例3](1)已知$f(x)+2f(-x)=3x + 1$，则$f(x)=$（ ）
A. $- 3x+\frac{1}{3}$ B. $- 3x$
C. $- 3x + 1$ D. $- x+\frac{1}{3}$
(2)已知函数$y = f(x)$满足$f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$，求函数$y = f(x)$的解析式.

答案：
(1)A 因为f(x)+2f(-x)=3x + 1①，
所以f(-x)+2f(x)=-3x + 1②，联立①②解得f(x)=-3x+$\frac{1}{3}$。
(2)[解析]在已知等式中，将x换成$\frac{1}{x}$，
得f($\frac{1}{x}$)+2f(x)=$\frac{1}{x}$，与已知方程联立，
得{f(x)+2f($\frac{1}{x}$)=x,f($\frac{1}{x}$)+2f(x)=$\frac{1}{x}$}，解得f(x)=-$\frac{x}{3}$+$\frac{2}{3x}$(x≠0)。

已知函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，且$f(x)=2f(\frac{1}{x})\cdot\sqrt{x}-1$，则$f(x)=$__________.

答案： [解析]因为f(x)=2f($\frac{1}{x}$)·$\sqrt{x}$-1①，
所以f($\frac{1}{x}$)=2f(x)·$\sqrt{\frac{1}{x}}$-1②，
由①②联立解得f(x)=$\frac{2}{3}$$\sqrt{x}$+$\frac{1}{3}$(x＞0)。
答案:$\frac{2}{3}$$\sqrt{x}$+$\frac{1}{3}$