《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】判断下列语句是不是命题，如果是，说明其真假.
(1)奇数不能被2整除；
(2)实数的平方是正数；
(3)当(a - 1)² + (b - 1)² = 0时，a = b = 1；
(4)已知x，y为正整数，当y = x + 1时，y = 3，x = 2.

答案： [解析]
(1)
(2)
(3)
(4)都是陈述句，且能判断真假，因此都是命题.
(1)是真命题. 因为奇数是不能被 2 整除的整数.
(2)是假命题. 反例：0 的平方还是 0，不是正数.
(3)是真命题. 由$(a - 1)^{2}+(b - 1)^{2}=0$，可得$a - 1=0$且$b - 1=0$，所以$a=b=1$.
(4)是假命题. 反例：$y = 4,x = 3$也满足$y=x + 1$.

【典例】1.(多选题)(2024·大连高一检测)下列命题中，全称量词命题为（ ）
A. 存在一个菱形，它的四条边不相等
B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 任何一个素数是奇数
D. 梯形有两边平行

答案： 1. BCD 对于 A，命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”，含有存在量词，则命题为存在量词命题，故 A 不符合题意；
对于 B，命题可以换成“任意平行四边形的对角线互相平分”，则命题为全称量词命题，故 B 符合题意；
对于 C，命题“任何一个素数是奇数”为全称量词命题，故 C 符合题意；
对于 D，命题可以换成“任意梯形有两边平行”，则命题为全称量词命题，故 D 符合题意.

2. 下列四个命题：
①∀x∈R，x² - x + 1/4≥0；
②不存在实数x，使x² + 1 = 0；
③∀n∈R，n²≥n；
④至少有一个实数x，使得x² + 1 = 0.
其中真命题的序号是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④

答案： 2. D ①，$x^{2}-x+\frac{1}{4}=(x - \frac{1}{2})^{2}\geq0$，当$x=\frac{1}{2}$时等号成立. ①正确.
②④，当$x=-1$时，$x^{3}+1=0$，②错误，④正确.
③，当$n=\frac{1}{2}$时，$n^{2}＜n$，③错误.