《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

同一个函数
一般地，如果两个函数的 ， （即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等），则称这两个函数就是同一个函数.

答案： 定义域相同　对应关系也相同

＞版本交融（北师 P55 练习 T2）
（1）函数$f(x)=x$和$g(x)=\frac{x^{2}}{x}$是同一个函数吗？为什么？
（2）函数$f(x)=\frac{1}{x}$和$g(x)=\frac{x}{x^{2}}$是同一个函数吗？为什么？

答案： 提示:
(1)函数$f(x)=x$和$g(x)=\frac{x^{2}}{x}$不是同一个函数，因为它们的定义域不同.
(2)函数$f(x)=\frac{1}{x}$和$g(x)=\frac{x}{x^{2}}$是同一个函数，因为它们的定义域都是$\{x|x\neq0\}$，后者关系可化为$f(x)=\frac{1}{x}$，两者对应关系相同.

◆明辨是非◆
（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数. （ ）
（2）函数$f(x)=x^{2}-x$与$g(t)=t^{2}-t$不是同一个函数. （ ）
（3）$y = f(x),x\in\mathbf{R}$与$y = f(x + 1),x\in\mathbf{R}$可能是同一个函数. （ ）

答案：
(1)×　提示:例如$f(x)=\frac{3}{x}$与$g(x)=\frac{5}{x}$的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数.
(2)×　提示:函数$f(x)=x^{2}-x$与$g(t)=t^{2}-t$的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数.
(3)√　提示:$y = f(x),x\in R$与$y = f(x + 1),x\in R$两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数.

【典例】（2024·德州高一检测）下列函数中，与函数$y = x - 1$是同一函数的是 （ ）
A. $y = (\sqrt{x - 1})^{2}$
B. $y = \sqrt{x^{2}} - 1$
C. $y = \frac{x^{2}}{x} - 1$
D. $y = \sqrt[3]{x^{3}} - 1$

答案： D　函数$y = x - 1$的定义域为R；
对于A中，函数$y = (\sqrt{x - 1})^{2}$定义域为$[1,+\infty)$，与$y = x - 1$定义域不同，所以不是同一函数；
对于B中，函数$y=\sqrt{x^{2}} - 1 = |x| - 1=\begin{cases}x - 1,x\geq0\\-x - 1,x＜0\end{cases}$，与函数$y = x - 1$的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数$y=\frac{x^{2}}{x}-1$定义域为$\{x|x\neq0\}$，与$y = x - 1$定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数$y=\sqrt[3]{x^{3}} - 1 = x - 1$与$y = x - 1$的定义域都是R，且对应关系都相同，所以是同一函数.

即学即练
下列各组函数是同一个函数的是 （ ）
①$f(x)=\sqrt{-2x^{3}}$与$g(x)=x\sqrt{-2x}$；
②$f(x)=x^{0}$与$g(x)=\frac{1}{x^{0}}$；
③$f(x)=x^{2}-2x - 1$与$g(t)=t^{2}-2t - 1$.
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③

答案： C　①$f(x)=\sqrt{-2x^{3}} = |x|\sqrt{-2x}$与$g(x)=x\sqrt{-2x}$的对应关系和值域不同，故不是同一个函数；②$f(x)=x^{0}$与$g(x)=\frac{1}{x^{0}}$都可化为$y = 1$，且定义域是$\{x|x\neq0\}$，故是同一个函数；③$f(x)=x^{2}-2x - 1$与$g(t)=t^{2}-2t - 1$的定义域都是R，对应关系也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一个函数.综上，是同一个函数的是②③.

【典例】（类题·节节高）
1.（2024·大连高一检测）已知函数$f(x)=2x - 1$，则$f(\frac{1}{2})=$ （ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2

答案： 1.B　因为函数$f(x)=2x - 1$，所以$f(\frac{1}{2})=2\times\frac{1}{2}-1 = 0$.