《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】1.（多选题）若ab＞0，则下列不等式中恒成立的有（ ）
A. $a^{2} + b^{2} \geq 2ab$
B. $a + b \geq 2\sqrt{ab}$
C. $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) \geq 4$
D. $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$
2.（2024·潍坊高一检测）若0 ＜ a ＜ b，则下列不等式成立的是（ ）
A. $\sqrt{ab} ＜ \frac{a + b}{2} ＜ a ＜ b$
B. $a ＜ \sqrt{ab} ＜ \frac{a + b}{2} ＜ b$
C. $\sqrt{ab} ＜ a ＜ \frac{a + b}{2} ＜ b$
D. $a ＜ \frac{a + b}{2} ＜ \sqrt{ab} ＜ b$

答案： 1. ACD
A:因为 $a^{2}+b^{2}-2ab=(a - b)^{2}\geq0$，所以 $a^{2}+b^{2}\geq2ab$ 恒成立，所以本选项符合题意;
B:当 $a＜0,b＜0$ 时，显然 $ab＞0$ 成立，但是 $a + b\geq2\sqrt{ab}$ 不成立，所以本选项不符合题意;
C:因为 $ab＞0$，所以 $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{a})=ab+\frac{1}{ab}+2\geq2\sqrt{ab\cdot\frac{1}{ab}}+2 = 4$（当且仅当 $ab=\frac{1}{ab}$ 时取等号，即 $ab = 1$ 时取等号），所以本选项符合题意;
D:因为 $ab＞0$，所以 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2$（当且仅当 $\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$ 时取等号，即 $a = b＞0$ 或 $a = b＜0$ 时取等号），所以本选项符合题意.
2. B 因为 $b＞a＞0$，所以 $b＞\frac{a + b}{2}$，$\sqrt{ab}＞a$，又因为 $\frac{a + b}{2}＞\sqrt{ab}$，所以 $b＞\frac{a + b}{2}＞\sqrt{ab}＞a$，即 $a＜\sqrt{ab}＜\frac{a + b}{2}＜b$.

即学即练
（多选题）已知x，y∈R，且$\frac{1}{x} ＞ \frac{1}{y} ＞ 0$，x + y = 2，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. x ＞ y
B. 0 ＜ x ＜ 1
C. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} ＞ 2$
D. 2y ＞ $x^{2} + y^{2}$

答案： BCD
对于A，因为 $\frac{1}{x}＞\frac{1}{y}＞0$，所以 $0＜x＜y$，故A错误;
对于B，因为 $0＜x＜y$，$x + y = 2$，所以 $0＜x＜1$，$1＜y＜2$，故B正确;
对于C，因为 $x + y = 2$，所以 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(\frac{x}{2}+\frac{y}{2})(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=1+\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x}\geq1+2\sqrt{\frac{x}{2y}\cdot\frac{y}{2x}}=2$，又 $x\neq y$，故等号不成立，所以 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}＞2$，故C正确;
对于D，因为 $x^{2}+y^{2}-2y=(2 - y)^{2}+y^{2}-2y=2(y^{2}-3y + 2)=2(y-\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{2}$，且当 $1＜y＜2$ 时，$y^{2}-3y + 2＜0$，即 $x^{2}+y^{2}＜2y$，故D正确.

【典例】1. 已知a＞0，b＞0，a + b = 18，求ab的最大值.
2. 已知x＞0，y＞0，xy=10，求z=$\frac{2}{x}$+$\frac{5}{y}$的最小值.

答案： 1.【解析】因为 $\sqrt{ab}\leq\frac{a + b}{2}$，所以 $ab\leq(\frac{a + b}{2})^{2}=(\frac{18}{2})^{2}=81$（当且仅当 $a = b = 9$ 时取等号），故 $ab$ 的最大值为 81.
2.【解析】由 $x＞0$，$y＞0$，$xy = 10$. 则 $z=\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{2y + 5x}{10}\geq\frac{2\sqrt{10xy}}{10}=2$，所以 $z_{\min}=2$. 当且仅当 $2y = 5x$，即 $x = 2$，$y = 5$ 时等号成立.

即学即练
（2024·菏泽高一检测）已知a＞0，b＞0，且3a + 4b = 4，则ab的最大值为（ ）
A. 1
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： C $3a + 4b = 4\geq2\sqrt{3a\cdot4b}$，解得 $ab\leq\frac{1}{3}$，当且仅当 $3a = 4b = 2$ 时等号成立，即 $a=\frac{2}{3}$，$b=\frac{1}{2}$ 时，等号成立，所以 $ab$ 的最大值为 $\frac{1}{3}$.