《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

2.(多选题)(2024·沈阳高一检测)已知集合A = {x|x≥ - 2}，B = {x|-2≤x≤1}，则下列关系正确的是 ( )
A.A = B B.A⊆B
C.B⊆A D.B⫋A

答案： 2. CD 因为集合$A = \{x|x\geq - 2\}$，$B = \{x|-2\leq x\leq1\}$，所以根据子集及真子集的定义可知$B\subseteq A$，$B\subsetneqq A$.

【典例】1.(2024·济宁高一检测)已知集合M = {1，0}，则与集合M相等的集合为 ( )
A.$\{(x,y)|\begin{cases}x - y = - 1\\x + y = 1\end{cases}\}$
B.$\{(x,y)|y=\sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}\}$
C.$\{x|x=\frac{(-1)^n-1}{2},n\in N\}$
D.{x|-1＜x＜2，x∈N}

答案： 【典例】1. D 对于 A 选项，$\left\{(x,y)\left|\begin{array}{l}x - y = - 1\\x + y = 1\end{array}\right.\right\}=\{(0,1)\}\neq M$，故 A 错误；
对于 B 选项，$\{(x,y)|y = \sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}\}$中$\left\{\begin{array}{l}x - 1\geq0\\1 - x\geq0\end{array}\right.$，解得$x = 1$，故$\{(x,y)|y = \sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}\}=\{(1,0)\}\neq M$，故 B 错误；
对于 C 选项，$\left\{x\left|x=\frac{(-1)^n - 1}{2},n\in N\right.\right\}=\{-1,0\}\neq M$，故 C 错误；
对于 D 选项，$\{x|-1\lt x\lt2,x\in N\}=\{0,1\}=M$，故 D 正确.
2. CD 因为集合$A = \{x|x\geq - 2\}$，$B = \{x|-2\leq x\leq1\}$，所以根据子集及真子集的定义可知$B\subseteq A$，$B\subsetneqq A$.

3.(教材提升例3)判断下列各组中集合之间的关系：
①A = {x|x是12的约数}，B = {x|x是36的约数}；
②A = {x|x² - x = 0}，B = {x∈R|x² + 1 = 0}；
③A = {x|x是平行四边形}，B = {x|x是菱形}，C = {x|x是四边形}，D = {x|x是正方形}；
④$M=\{x|x=\frac{n}{2},n\in Z\}$，$N=\{x|x=\frac{1}{2}+n,n\in Z\}$.

答案：
3.【解析】①因为若 x 是 12 的约数，则必定是 36 的约数，反之不成立，所以A⫋B.
②因为A={x∣x2−x=0}={0,1}，B={x∈R∣x2+1=0}=∅，所以B⫋A.
③由图形的特点可画出维恩图如图所示，

从而C⫌A⫌B⫌D.
④方法一：对于集合 M，其组成元素是2n​，分子部分表示所有的整数；对于集合 N，其组成元素是21​+n=22n+1​，分子部分表示所有的奇数. 由真子集的概念知，N⫋M.
方法二：用列举法表示集合如下：
M={⋯,−23​,−1,−21​,0,21​,1,23​,2,25​,⋯}，
N={⋯,−23​,−21​,21​,23​,25​,⋯}，所以N⫋M.

指出下列各对集合之间的关系.
(1)A = {-1，1}，B = {(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)}；
(2)A = {x|-1＜x＜4}，B = {x|x - 5＜0}；
(3)A = {x|x是等边三角形}，B = {x|x是等腰三角形}；
(4)$M=\{x|x = 2n - 1,n\in N^*\}$，$N=\{x|x = 2n+1,n\in N^*\}$；
(5)A = {x|x = 2a + 3b，a∈Z，b∈Z}，B = {x|x = 4m - 3n，m∈Z，n∈Z}.

答案：
【解析】
(1)集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实数对，故 A 与 B 之间无包含关系.
(2)集合$B = \{x|x\lt5\}$，用数轴表示集合 A，B 如图所示，
由图可知$A\subsetneqq B$.

(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故$A\subsetneqq B$.
(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于$n\in N^{*}$，因此集合 M 含有元素“1”，而集合 N 不含元素“1”，故$N\subsetneqq M$.
(5)$A = \{x|x = 2a + 3b,a\in Z,b\in Z\}$，因为任意$k\in Z$，$k = 2\times(-k)+3k\in A$，所以$A = \{x|x = 2a + 3b,a\in Z,b\in Z\}=Z$，
因为任意$k\in Z$，$k = 4k - 3k\in B$，所以$B = \{x|x = 4m - 3n,m\in Z,n\in Z\}=Z$，所以$A = B = Z$.