《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

类型三 一元二次不等式的实际应用(数学建模)
【典例】(2024·潍坊高一检测)某水库的最大蓄水量为128 000 m³，原有水量为80 000 m³，泄水期间每天泄水量为4 000 m³，在洪水爆发时，预测注入水库的水量Sn(单位：m³)与天数n(n∈N，n≤10)的函数关系是Sn = 5 000√(an² + bn)(a，b∈R)，其中S₁ = 25 000，S₃ = 45 000. 若洪水爆发的第一天就打开泄水闸，则这10天中堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由. (水库蓄水量超过最大蓄水量时，堤坝会发生危险.)

即学即练
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆. 本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本. 若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应控制在什么范围内？

总结升华
解不等式应用题的步骤
读：阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系
建：将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型
解：解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义
答：回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果

答案： [典例][解析]由$S_{1}=25000,S_{3}=45000$，
可得$\begin{cases}5000\sqrt{a + b}=25000 \\ 5000\sqrt{9a + 3b}=45000\end{cases}$，所以$\begin{cases}a + b=25 \\ 3a + b=27\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = 24\end{cases}$，
所以$S_{n}=5000\sqrt{n^{2}+24n}$，设水库蓄水量为$y$，
则有$y=80000 + 5000\sqrt{n^{2}+24n}-4000n,1\leqslant n\leqslant10$，
令$y＞128000$，可得$80000 + 5000\sqrt{n^{2}+24n}-4000n＞128000$，
整理得$5\sqrt{n^{2}+24n}＞4n + 48$，
两边平方可得，$n^{2}+24n - 256＞0$，解得$n＜-32$(舍)或$n＞8$，
所以这10天中堤坝会发生危险，第9天和第10天会发生危险.
[即学即练]
[解析]
(1)由题意得$y=[12(1 + 0.75x)-10(1 + x)]\times10000\times(1 + 0.6x)(0＜x＜1)$，整理得$y=-6000x^{2}+2000x + 20000(0＜x＜1)$.
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有$\begin{cases}y-(12 - 10)\times10000＞0 \\ 0＜x＜1\end{cases}$，即$\begin{cases}-6000x^{2}+2000x＞0 \\ 0＜x＜1\end{cases}$，
解得$0＜x＜\frac{1}{3}$，
所以投入成本增加的比例$x$的取值范围为$\left\{x|0＜x＜\frac{1}{3}\right\}$.