《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】(2024·大连高一检测)已知a，b是实数，求证：$a^{4}-b^{4}-2b^{2}=1$成立的充要条件是$a^{2}-b^{2}=1$.

答案： [证明]先证明充分性:
　若$a^{2}-b^{2}=1$，则$a^{4}-b^{4}-2b^{2}=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})-2b^{2}=a^{2}+b^{2}-2b^{2}=a^{2}-b^{2}=1$成立.
　所以“$a^{2}-b^{2}=1$”是“$a^{4}-b^{4}-2b^{2}=1$”成立的充分条件.
　再证明必要性:
　若$a^{4}-b^{4}-2b^{2}=1$，则$a^{4}-b^{4}-2b^{2}-1 = 0$，即$a^{4}-(b^{4}+2b^{2}+1)=0$，所以$a^{4}-(b^{2}+1)^{2}=0$，所以$(a^{2}+b^{2}+1)(a^{2}-b^{2}-1)=0$.
　因为$a^{2}+b^{2}+1\neq0$，所以$a^{2}-b^{2}-1 = 0$，即$a^{2}-b^{2}=1$成立.
　所以“$a^{2}-b^{2}=1$”是“$a^{4}-b^{4}-2b^{2}=1$”成立的必要条件.
　综上:$a^{4}-b^{4}-2b^{2}=1$成立的充要条件是$a^{2}-b^{2}=1$.

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求证：“关于x的方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一个根为2”的充要条件是“$4a + 2b + c = 0$”.

答案： [证明]必要性:若$ax^{2}+bx + c = 0$有一个根为$2$，则$x = 2$满足方程，即$4a+2b + c = 0$；
　充分性:若$4a+2b + c = 0$，则$a\times2^{2}+b\times2 + c = 0$，即$x = 2$满足方程$ax^{2}+bx + c = 0$.
　则关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一个根为$2$.
　综上命题得证.

1.(2024·滨州高一检测)已知条件$p:2k - 1\leqslant x\leqslant 3$，$q:-5\leqslant x\leqslant 3$，p是q的必要条件，则实数k的取值范围是__________.

答案： [解析]记$A=\{x|2k - 1\leqslant x\leqslant3\}$，$B=\{x|-5\leqslant x\leqslant3\}$，
　因为$p$是$q$的必要条件，所以$B\subseteq A$.
　所以$2k - 1\leqslant - 5$，所以$k\leqslant - 2$.
　答案:$(-\infty,-2]$

2.(2024·济宁高一检测)已知$p:x\lt m$，$q:-2\leqslant x\leqslant 4$，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__________.

答案： [解析]因为$p:x\lt m$，$q:-2\leqslant x\leqslant4$，$p$是$q$的必要不充分条件，
　所以$[-2,4]\subsetneqq(-\infty,m)$，所以$m\gt4$，
　即实数$m$的取值范围为$(4,+\infty)$.
　答案:$(4,+\infty)$

1.(2024·淄博高一检测)已知$p:x\gt a$是$q:2\lt x\lt 3$的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________.

答案： [解析]因为$p:x\gt a$是$q:2\lt x\lt3$的必要不充分条件，故集合$(2,3)$为集合$(a,+\infty)$的真子集，故$a\leqslant2$.
　答案:$(-\infty,2]$