《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

＞教材挖掘
函数的平均变化率与函数的单调性有怎样的关系?

答案：
提示:
　　　　

＞版本交融(RA P80思考)
你能以函数$f(x)=-x^{2}$为例说明函数$f(x)$的最大值的含义吗?

答案： 提示:一般地，设函数$y = f(x)$的定义域为$I$，如果存在实数$M$满足:
(1)$\forall x\in I$，都有$f(x)\leq M$；
(2)$\exists x_0\in I$，使得$f(x_0)=M$.
　那么,我们称$M$是函数$y = f(x)$的最大值.

明辨是非
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有最大值、最小值. （ ）
(2)若一个函数存在最大值，则最大值是唯一的，最值点也是唯一的. （ ）
(3)直线不一定有斜率，过函数图象上任意两点的直线也不一定有斜率. （ ）

答案：
(1)×　提示:如函数$y = \frac{1}{x}$既没有最大值，也没有最小值.
(2)×　提示:若一个函数存在最大值，则最大值是唯一的，但最值点不唯一，可以有多个最值点.
(3)×　提示:过函数图象上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有$x_1\neq x_2$.

类型一 利用函数图象求最值(直观想象)
【典例】1. (2024·沈阳高一检测)函数$f(x)$在$[-2,2]$上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ）

A. -1，0
B. 0，2
C. -1，2
D. $\frac{1}{2}$，2

答案： C 根据题图可知，
　$f(x)_{\min}=f(-2)= - 1$，$f(x)_{\max}=f(1)=2$.

2. 作图法求函数$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x},0\lt x\lt1\\x,1\leqslant x\leqslant2\end{cases}$的最值.

答案：
[解析]函数$f(x)$的图象如图，
　　　　　　　　　　
　由图象可知$f(x)$的最小值为$f(1)=1$，无最大值.

即学即练
(2024·东营高一检测)已知$m\in\mathbf{R}$，函数$f(x)=x|x - m|$.
(1)当$m = 3$时，画出$f(x)$的图象，并写出$f(x)$的单调递增区间；
(2)当$0\lt m\leqslant3$时，求$f(x)$在区间$[1,3]$上的最小值.

答案：
[解析]
(1)当$m = 3$时，$f(x)=x|x - 3|=\begin{cases}x^2 - 3x,x＞3\\-x^2 + 3x,x\leq3\end{cases}$，作图:
　　　　　　　　　　
　所以$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,\frac{3}{2}],[3,+\infty)$；
(2)当$m＞0$时，$f(x)=x|x - m|=\begin{cases}x^2 - mx,x＞m\\-x^2 + mx,x\leq m\end{cases}$，
　　　　　　　　　　
　当$1\leq m\leq3$时，$f(x)$在区间$[1,3]$上的最小值为$f(m)=0$，
　当$0＜m＜1$时，$f(x)$在区间$[1,3]$上的最小值为$f(1)=1 - m$.