《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【例4】已知$a$，$b$为正实数，$2b + ab + a = 30$，求函数$y = \frac{1}{ab}$的最小值.

答案： [解析]由题意得 $a=\frac{30 - 2b}{b + 1}$，所以 $ab=\frac{30 - 2b}{b + 1}\cdot b=\frac{-2b^2+30b}{b + 1}$。由 $a＞0$ 得，$0＜b＜15$。令 $t = b + 1$，则 $1＜t＜16$，所以 $ab=\frac{-2t^2+34t - 32}{t}=-2(t+\frac{16}{t})+34$，因为 $t+\frac{16}{t}\geqslant2\sqrt{t\cdot\frac{16}{t}}=8$，所以 $ab\leqslant18$，所以 $y\geqslant\frac{1}{18}$，当且仅当 $t = 4$，即 $b = 3,a = 6$ 时，等号成立。

（2024·沈阳高一检测）若a＞0，b＞0，且a + b + 3ab = 5，则9a + b的最小值为__________，此时a = __________.

答案：

【典例】1. 用适当的方法解下列方程：
（1）$x^{2} - 3x - 4 = 0$；
（2）$4(3x - 5)^{2} = (x - 4)^{2}$；
（3）$y^{2} - 2y - 8 = 0$；
（4）$x(x - 3) = 4(x - 1)$.
2. （2024·青岛高一检测）求下列方程组的解集：
（1）$\begin{cases}z = y + x,① \\ 2x - 3y + 2z = 5,② \\ x + 2y + z = 13;③ \end{cases}$
（2）$\begin{cases}3x^{2} + xy + y^{2} = 15,① \\ 3x^{2} - 31xy + 5y^{2} = -45;② \end{cases}$
（3）$\begin{cases}\frac{4}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1,① \\ \frac{16}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1.② \end{cases}$（$a＞0$，$b＞0$）
3. 已知关于x的一元二次方程$x^{2} + (2m - 1)x + m^{2} - 3 = 0$有实数根.
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m = 2时，方程的根为$x_{1}$，$x_{2}$，求代数式$(x_{1}^{2} + 2x_{1})(x_{2}^{2} + 4x_{2} + 2)$的值.

答案： [典例]1.[解析]
(1)+字相乘法分解得:x²−3x−4=x²十(−4+1)x+(−4)×1=0,即(x−4)(x+1)=0,
　所以方程的解为x=−1或r=4.
(2)移项,得4(3x−5)²−(x−4)²=0,
　分解因式,得[2(3x−5)+(x−4)][2(3x−5)−(x−4)]=0,
　化简,得(7x−14)(5x−6)=0,
　所以7x−14=0或5x−6=0,得x1=2,x2=1.2.
(3)移项，得y²−2y=8,
　方程两边都加上1,得y²−2y+1=8+1,
　所以(y−1)²=9,所以y−1=±3,得y1=4,y2=−2.
(4)将方程化为x2−7x+4=0,
　因为α=1,b=−7,c=4,b²−4ac=33.
　所以x=$\frac{−b±\sqrt{b²−4ac}}{2a}$$\frac{7±\sqrt{33}}{2}$,
　所以x1=$\frac{7+\sqrt{33}}{2}$,x2=$\frac{7−\sqrt{33}}{2}$.
2.[解析]
(1)将①代人②③，消去2,得{42..xx−+y3y==513,
　解得{xy=23把x=2,y=3代入①,得z=5.
　所以原方程组的解集为{(2,3，5)).
(2)①×3+②得,3x²−7xy+2y²=0,(3x−y)(x−2y)=0,3x−y=0 或x−2y=0,
　将y=3x代人①得，x²=1,，所以{xy==31或{xy==−−31’
　将x=2y代人①得，y²=1,所以{xy==21或{xy==−−21′
　所以原方程组的解集为{(1,3),(−1,−3),(2,1),(−2,−1)).
(3)令r=$\frac{1}{a²}$,y==$\frac{1}{b2}$,
　所以{41x6x++4yy==11UVx=$\frac{1}{20}$$\frac{1}{a²}$==$\frac{1}{20}$,又a＞0,b＞0,
　　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　y=
　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　$\frac{1}{5}$　　$\frac{1}{62}$　$\frac{1}{5}$
　所以{a=2$\sqrt{5}$,所以原方程组的解集为(2$\sqrt{5}$,√5)).
　　　b=$\sqrt{5}$
3.[解析]
(1)△=(2m−1)²−4×1×(m²−3)=4m²−4m+1−4m²+12=
　−4m+13,
　因为原方程有实根,所以△=−4m+13≥0,解得m≤$\frac{13}{4}$.
　所以实数m的取值范围为(−∞o,$\frac{13}{4}$.
(2)当m=2时,方程为x²+3x+1=0,所以x1+x2=−3,x1x2=1,因为方程的根为x1,x2,所以x²+3x1+1=0,x2+3x2+1=0,
　所以(x²+2x1)(x²+4x2+2)=(x²+2x1+x1−x1)(x²+3x2+x2+2)
　=(−1−x1)(−1+x2+2)=(−1−x1)(x2+1)=−x2−x1x2−1−x1 =−x2−x1−2=3−2=1.