《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

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1. 不等式2x - $\frac{1}{2}$＞x的解集为（ ）
A. [$\frac{1}{2}$,+∞)
B. (-∞,$\frac{1}{2}$)
C. ($\frac{1}{2}$,+∞)
D. (-∞,$\frac{1}{2}$]

答案： C 由$2x - \frac{1}{2} ＞ x$得$2x - x ＞ \frac{1}{2}$，$x ＞ \frac{1}{2}$，所以不等式的解集为$(\frac{1}{2}, +\infty)$。

2. 在一元一次不等式组$\begin{cases}2x + 1＞0 \\ x - 5\leqslant0\end{cases}$的解集中，整数解的个数是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： C 解不等式$2x + 1 ＞ 0$，得$x ＞ - \frac{1}{2}$。解不等式$x - 5\leq0$，得$x\leq5$，所以不等式组的解集为$(-\frac{1}{2},5]$，整数解为$0,1,2,3,4,5$，共$6$个。

(2024·潍坊高一检测)求下列绝对值不等式的解集：
(1)|2x| - 3≥0.
(2)|1 - 2x|＜2.

答案： [解析]
(1)因为$|2x| - 3\geq0$，所以$|2x|\geq3$，所以$2x\geq3$或$2x\leq - 3$，解得$x\leq - \frac{3}{2}$或$x\geq\frac{3}{2}$，所以原不等式的解集为$(-\infty, - \frac{3}{2}]\cup[\frac{3}{2}, +\infty)$。
(2)由原不等式可得$|2x - 1| ＜ 2$，即$-2 ＜ 2x - 1 ＜ 2$，解得$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ \frac{3}{2}$，所以原不等式的解集为$(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$。

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求下列绝对值不等式的解集：
(1)|3x - 1|≤6.
(2)3≤|x - 2|＜4.

答案： [解析]
(1)因为$|3x - 1|\leq6\Leftrightarrow - 6\leq3x - 1\leq6$，即$-5\leq3x\leq7$，从而得$-\frac{5}{3}\leq x\leq\frac{7}{3}$，所以原不等式的解集是$\{x|-\frac{5}{3}\leq x\leq\frac{7}{3}\}$。
(2)因为$3\leq|x - 2| ＜ 4$，所以$3\leq x - 2 ＜ 4$或$-4 ＜ x - 2\leq - 3$，即$5\leq x ＜ 6$或$-2 ＜ x\leq - 1$。所以原不等式的解集为$\{x|-2 ＜ x\leq - 1或5\leq x ＜ 6\}$。

求下列不等式的解集：
(1)|x - 1| + |x - 2|＜5；
(2)|x - 1| + |x - 2|＞$\frac{1}{2}$；
(3)|x - 1| + |x - 2|＜$\frac{1}{3}$.

答案： 解析]
(1)因为$|x - 1| + |x - 2| ＜ 5$，当$x ＜ 1$时，原不等式可化为$1 - x + 2 - x ＜ 5$，解得$-1 ＜ x ＜ 1$；当$1\leq x\leq2$时，原不等式化为$x - 1 + 2 - x ＜ 5$，解得$1\leq x\leq2$；当$x ＞ 2$时，原不等式化为$x - 1 + x - 2 ＜ 5$，解得$2 ＜ x ＜ 4$。综上，原不等式的解集为$(-1,4)$。
(2)因为$|x - 1| + |x - 2| ＞ \frac{1}{2}$，当$x ＜ 1$时，原不等式可化为$1 - x + 2 - x ＞ \frac{1}{2}$，解得$x ＜ 1$；当$1\leq x\leq2$时，原不等式化为$x - 1 + 2 - x ＞ \frac{1}{2}$，解得$1\leq x\leq2$；当$x ＞ 2$时，原不等式化为$x - 1 + x - 2 ＞ \frac{1}{2}$，解得$x ＞ 2$。综上，可得原不等式的解集为$\mathbf{R}$。
(3)因为$|x - 1| + |x - 2| ＜ \frac{1}{3}$，当$x ＜ 1$时，原不等式可化为$1 - x + 2 - x ＜ \frac{1}{3}$，解得$x\in\varnothing$；当$1\leq x\leq2$时，原不等式化为$x - 1 + 2 - x ＜ \frac{1}{3}$，解得$x\in\varnothing$；当$x ＞ 2$时，原不等式化为$x - 1 + x - 2 ＜ \frac{1}{3}$，解得$x\in\varnothing$。综上，原不等式的解集为$\varnothing$。