《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

即学即练
某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应缴电费$y$（元）关于用电量$x$（千瓦时）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：
（1）求$y$关于$x$的函数解析式；
（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
（3）若该用户某月用电62千瓦时，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元，则该用户该月用了多少电？

答案：
(1)当$0\leqslant x\leqslant100$时，设函数解析式为$y = kx$.将$x = 100$，$y = 65$代入，得$k = 0.65$，所以$y = 0.65x$.当$x＞100$时，设函数解析式为$y = ax + b$.将$x = 100$，$y = 65$和$x = 130$，$y = 89$代入，得$\begin{cases}100a + b = 65\\ 130a + b = 89\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 0.8\\ b=-15\end{cases}$，所以$y = 0.8x-15$.综上可得，$y=\begin{cases}0.65x,0\leqslant x\leqslant100\\ 0.8x-15,x＞100\end{cases}$.
(2)由
(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100千瓦时时，每千瓦时收费0.65元；超过100千瓦时时，超出的部分，每千瓦时收费0.80元.
(3)当$x = 62$时，$y = 62\times0.65 = 40.3$(元)；当$y = 105$时，因为$0.65\times100 = 65＜105$，所以$x＞100$，所以$105 = 0.8x-15$，$x = 150$.即若该用户月用电62千瓦时时，则用户应缴费40.3元；若用户月缴费105元，则该用户该月用电150千瓦时.

[例1](1)已知$f(x)$是一次函数，且满足$3f(x + 1)-2f(x - 1)=2x + 17$，则$f(x)=$__________ __________.
(2)已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=f(4)$，且$f(x)=0$的两根的平方和为10，图象过点(0，3)，求$f(x)$.

答案：
(1)[解析]因为f(x)是一次函数，令f(x)=kx+b(k≠0)，
3f(x + 1) - 2f(x - 1)=kx + 5k + b = 2x + 17，
所以k = 2，b = 7，f(x)=2x + 7。
答案:2x + 7
(2)[解析]设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，
由f
(0)=f
(4)及{f
(0)=c,f
(4)=16a + 4b + c}，得4a + b = 0。①
又图象过点(0,3)，所以c = 3。②
设f(x)=0的两实根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，所以x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(-$\frac{b}{a}$)²-2×$\frac{c}{a}$=10。
即b² - 2ac = 10a²。③
由①②③得a = 1，b = - 4，c = 3。
所以f(x)=x² - 4x + 3。