《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$BC$边的垂直平分线交$AB$于点$E$，交$BC$于点$D$，过点$C$作$CF// AB$交$ED$的延长线于点$F$，连接$BF,CE$。
(1)判断四边形$BECF$是什么特殊四边形，并说明理由。
(2)当$\triangle ABC$满足∠A=45°或∠ABC=45°或BC=AC时，四边形$BECF$是正方形，并给予证明。

答案：
(1)四边形BECF是菱形,理由如下:
∵EF垂直平分BC,
∴FB=FC,EB=EC.
∴∠EBC=∠ECB.
∵CF//AB,
∴∠FCB=∠EBC.
∴∠FCB=∠ECB.在△FCD和△ECD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠FCD=∠ECD,\\ CD=CD,\\ ∠CDF=∠CDE,\end{array}\right. $
∴△FCD≌△ECD(ASA).
∴CF=CE.
∴FB=FC=CE=BE.
∴四边形BECF是菱形.
(2)∠A=45°或∠ABC=45°或BC=AC 证明:当∠A=45°或∠ABC=45°或BC=AC时,可得到∠ABC=45°.
∴∠EBF=2∠ABC=90°.又
∵四边形BECF是菱形,
∴四边形BECF是正方形.

【例 1】 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，$E$ 为对角线 $BD$ 上一点，且 $BE = BC$，点 $P$ 为线段 $CE$ 上一动点，且 $PM \perp BE$ 于点 $M$，$PN \perp BC$ 于点 $N$，则 $PM + PN$ 的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

【分析】 连接 $BP$，作 $EF \perp BC$ 于点 $F$，由正方形的性质可知 $\triangle BEF$ 为等腰直角三角形，$BE = 1$，可求 $EF$，利用面积法得 $S_{\triangle BPE} + S_{\triangle BPC} = S_{\triangle BEC}$，再利用整体思想即可求得 $PM + PN$ 的值.
【方法指导】 特殊平行四边形中等面积法的应用：求图中两条垂线段的长度和时，常常利用等面积法进行转化，运用整体思想求解.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$