《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】下列图形中，阴影部分面积为 1 的有(B)


A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个

答案： B

【变式 1】如图，在平面直角坐标系中，过点$ M(-3,2) $分别作$ x $轴、$ y $轴的垂线与反比例函数$ y = \frac{2}{x} $的图象交于$ A $，$ B $两点，则四边形$ MAOB $的面积为8。

答案： 8

【例 2】如图所示，一次函数$ y = kx + b $的图象与反比例函数$ y = \frac{m}{x} $的图象交于点$ A(3,4) $，$ B(n,-1) $。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式。
(2)在$ x $轴上存在一点$ C $，使$ \triangle AOC $为等腰三角形，求此时点$ C $的坐标。
(3)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的$ x $的取值范围。
【分析】(1)先把$ A $点坐标代入反比例函数表达式求得反比例函数的表达式，再把$ B $点坐标代入所求得的反比例函数的表达式，求得$ B $点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
(2)分三种情况：$ OA = OC $，$ AO = AC $，$ CA = CO $，分别求解即可；
(3)根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时$ x $的取值范围即可。
【解答】

答案： 解：
(1)把A(3,4)代入$y=\frac{m}{x}$，$\therefore m=12$.$\therefore$反比例函数的表达式是$\frac{12}{x}$.把B(n,-1)代入$y=\frac{12}{x}$，得n=-12.把A(3,4),B(-12,-1)分别代入$y=kx+b$中，得$\begin{cases} 3k+b=4, \\ -12k+b=-1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{1}{3}, \\ b=3. \end{cases}$$\therefore$一次函数的表达式为$y=\frac{1}{3}x+3$.
(2)$\because A(3,4)$，$\therefore OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$.$\because \triangle AOC$为等腰三角形，分三种情况：①当$OA=OC$时，$OC=5$，此时点C的坐标为(5,0),(-5,0)；②当$AO=AC$时，$\because A(3,4)$，点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，此时点C的坐标为(6,0)；③当$CA=CO$时，点C在线段OA的垂直平分线上，过点A作$AD \perp x$轴，垂足为D，由题意可得：$OD=3$，$AD=4$，$AO=5$，设$OC=x$，则$AC=x$，在$\triangle ACD$中，$AD^2+CD^2=AC^2$.$\therefore 4^2+(x-3)^2=x^2$，解得$x=\frac{25}{6}$.$\therefore$此时点C的坐标为$(\frac{25}{6},0)$.
(3)由图象可得：$-12 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 3$.