《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】 如图，在$\triangle A B C$中，$A B = 8$，$B C = 7$，$A C = 6$，点$D$，$E$分别在$A B$，$A C$上，当$A D$，$A E$的长分别为多少时，以$A$，$D$，$E$为顶点的三角形和$\triangle A B C$相似，且相似比为$\frac { 1 } { 4 }$？并说明理由.
【分析】 利用相似三角形的判定分$\triangle A B C \backsim \triangle A D E$和$\triangle A B C \backsim \triangle A E D$两种情况讨论即可求得$A D$，$A E$的长.
【解答】

【方法指导】 “相似于（$\backsim$）”和“谁和谁相似”的区别：前者的对应关系固定，后者的对应关系不固定. 如果已知两个三角形相似，当边的对应关系不明确时，从对应关系入手，相等的角或公共角为对应角，则对应角的两边成比例，再根据对应关系分两种情况讨论.

答案： 解:①当AD=2,AE=1.5时,△ABC∽△ADE,理由如下:
∵AB=8,AC=6,AD=2,AE=1.5,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$.又
∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADE.②当AD=1.5,AE=2时,△ABC∽△AED,理由如下:
∵AB=8,AC=6,AD=1.5,AE=2,
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{4}$.又
∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△AED.

【变式】 如图，在$\triangle A B C$中，点$D$在边$B C$上，$A E // B C$，$B E$与$A D$，$A C$分别相交于点$F$，$G$，$A F ^ { 2 } = F G \cdot F E$.
(1) 求证：$\triangle C A D \backsim \triangle C B G$.
(2) 连接$D G$，求证：$D G \cdot A E = A B \cdot A G$.

答案：
(1)
∵$AF^2=FG\cdot FE$,
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{EF}{AF}$.又
∵∠AFG=∠EFA,
∴△FAG∽△FEA.
∴∠FAG=∠E.
∵AE//BC,
∴∠E=∠EBC.
∴∠EBC=∠FAG.又
∵∠ACD=∠BCG,
∴△CAD∽△CBG.
(2)
∵△CAD∽△CBG,
∴$\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CG}$.
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CG}{CB}$.又
∵∠DCG=∠ACB,
∴△CDG∽△CAB.
∴$\frac{DG}{AB}=\frac{CG}{CB}$.
∵AE//BC,
∴$\frac{AE}{CB}=\frac{AG}{GC}$.
∴$\frac{AG}{AE}=\frac{GC}{BC}$.
∴$\frac{DG}{AB}=\frac{AG}{AE}$.
∴DG·AE=AB·AG.