《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】如图 1，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，BC 上，BD = DC，BD·BC = BE·AC.
(1) 求证：∠ABE = ∠DEB.
(2) 如图 2，延长 BA，ED 交于点 F，求证：$\frac{FD}{FE}=\frac{AD}{DC}$.
【分析】(1) 由 BD·BC = BE·AC 得出$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{BC}$，由 BD = DC 得出∠DBC = ∠C，从而得出结论；(2) 根据(1)的结论和已知证明△FAD∽△FDB 即可.
【解答】
【方法指导】两次相似或连环相似问题中，第一次相似一般为第二次相似创造条件.

答案： 【例】解：
(1)
∵BD=DC，
∴∠DBC=∠C.
∵BD·BC=BE·AC，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{BC}$.
∴△ABC∽△DEB.
∴∠ABC=∠DEB，即∠ABE=∠DEB.
(2)
∵△ABC∽△DEB，
∴∠CAB=∠BDE.
∴∠FAD=∠FDB.
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FDB.
∴$\frac{FD}{FB}=\frac{AD}{DB}$.
∵∠ABE=∠DEB，
∴FB=FE.又
∵BD=DC，
∴$\frac{FD}{FE}=\frac{AD}{DC}$.

【变式】如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E 在边 AC 上，且 AD² = AE·AB，连接 DE.
(1) 求证：△ABD∽△ADE.
(2) 若 CD = 3，CE = 2，则 AE = $\frac{5}{2}$.

答案： 【变式】解：
(1)证明：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD.
∵$AD^2=AE·AB$，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AD}$.
∴△ABD∽△ADE.
(2)$\frac{5}{2}$