《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度 $ EF $。在第一次测量中，小莉来回走动，走到点 $ D $ 时，其影子末端与树影子末端重合于点 $ H $，测得 $ DH = 1 $ 米。随后，组员在直线 $ DF $ 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 $ DF $ 上的对应位置为点 $ G $。镜子不动，小莉从点 $ D $ 沿着直线 $ FD $ 后退 $ 11 $ 米到点 $ B $ 时，恰好在镜子中看到顶端 $ E $ 的像与标记 $ G $ 重合，此时 $ BG = 2 $ 米。如图，已知 $ AB \perp BF $，$ CD \perp BF $，$ EF \perp BF $，小莉的身高为 $ 1.6 $ 米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）。根据以上信息，求树的高度 $ EF $。

【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出 $ \triangle EFH \sim \triangle CDH $，$ \triangle EFG \sim \triangle ABG $，进而利用相似三角形的性质得出 $ EF $ 的长。
【解答】

答案： 解:设树的高度 EF=x m,依题意,知 DB=11 m,BG=2 m,DH=1 m,AB=CD=1.6 m.
∴GH=DB-BG-DH=8 m.
∵CD⊥BF,EF⊥BF,
∴△EFH∽△CDH.
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{FH}{DH}$.
∴$\frac{x}{1.6}=\frac{HF}{1}$.
∴HF=$\frac{5}{8}x$.
∵AB⊥BF,
∴∠ABG=90°=∠EFG.又
∵∠EGF=∠AGB,
∴△EFG∽△ABG.
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{FG}{BG}$,即$\frac{EF}{AB}=\frac{GH+HF}{BG}$.
∴$\frac{x}{1.6}=\frac{8+\frac{5}{8}x}{2}$,解得 x=12.8.
∴树的高度 EF 为 12.8 m.

【变式】如图，$ AB $ 为路灯主杆，$ AE $ 为路灯的悬臂，$ AE $ 长 $ 3 $ 米，$ CD $ 是长为 $ 1.8 $ 米的标杆。已知路灯悬臂 $ AE $ 与地面 $ BG $ 平行，当标杆竖立子地面时，主杆顶端 $ A $、标杆顶端 $ D $ 和地面上一点 $ G $ 在同一直线上，此时路灯 $ E $、标杆顶端 $ D $ 和地面上另一点 $ F $ 也在同一条直线上(路灯主杆底端 $ B $、标杆底端 $ C $ 和地面上点 $ F $、点 $ G $ 在同一水平线上)。这时测得 $ FG $ 长 $ 1.5 $ 米，则路灯主杆 $ AB $ 的高度为5.4 米。

答案： 5.4 米