《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式 3】
若点$A(-3,y_1)$，$B(2,y_2)$，$C(5,y_3)$都在反比例函数$y=\frac{a^2 + 1}{x}$($a$为常数)的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$.

答案： 【变式3】$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$

【例1】反比例函数 $ y = \frac{k_1}{x} $ 和 $ y = \frac{k_2}{x} $ $ (k_1 ＜ k_2) $ 在第一象限的图象如图所示，直线 $ AB // x $ 轴，并分别交两条曲线于 $ A,B $ 两点. 若 $ S_{\triangle AOB} = 2 $，则 $ k_2 - k_1 $ 的值为4.
【分析】根据反比例函数中 $ k $ 的几何意义，得到 $ \triangle AOC $ 的面积为 $ \frac{k_1}{2} $，$ \triangle BOC $ 的面积为 $ \frac{k_2}{2} $，则 $ \triangle ABO $ 的面积为 $ \frac{k_2 - k_1}{2} $，进而得到 $ k_2 - k_1 $ 的值.

答案： 【例 1】4

【变式】如图所示，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，四边形 $ OABC $ 为矩形，点 $ A,C $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴上，点 $ B $ 在函数 $ y_1 = \frac{k}{x} $ $ (x ＞ 0,k $ 为常数且 $ k ＞ 2) $ 的图象上，边 $ AB $ 与函数 $ y_2 = \frac{2}{x} $ $ (x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ D $，则阴影部分 $ ODBC $ 的面积为k-1.(结果用含 $ k $ 的式子表示)

答案： 【变式】$k-1$

【例2】如图所示，已知 $ A(-4,\frac{1}{2}) $，$ B(-1,2) $ 是一次函数 $ y = kx + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ $ (m \neq 0,x ＜ 0) $ 图象的两个交点，$ AC \perp x $ 轴于点 $ C $，$ BD \perp y $ 轴于点 $ D $.
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当 $ x $ 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
(2)求一次函数的表达式及 $ m $ 的值.
(3)$ P $ 是线段 $ AB $ 上的一点，连接 $ PC,PD $，若 $ \triangle PCA $ 和 $ \triangle PBD $ 的面积相等，求点 $ P $ 的坐标.
【分析】(1)根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；(2)利用待定系数法，将点 $ A,B $ 的坐标代入一次函数的表达式求得 $ k,b $，可得一次函数的表达式；(3)根据三角形面积相等建立方程，进而求解.

【解答】
【拓展提问】若 $ Q $ 是 $ y $ 轴上的一动点，当 $ QB + QC $ 的值最小时，则点 $ Q $ 的坐标为$(0,\frac {8}{5})$.

答案： 【例 2】解:
(1)在第二象限内,当$-4＜x＜-1$时,一次函数的值大于反比例函数的值.
(2)
∵一次函数$y=kx+b$的图象过点$A(-4,\frac {1}{2}),B(-1,2),$
∴$\left\{\begin{array}{l} -4k+b=\frac {1}{2},\\ -k+b=2,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=\frac {1}{2},\\ b=\frac {5}{2}.\end{array}\right. $
∴一次函数的表达式为$y=\frac {1}{2}x+\frac {5}{2}$.
∵反比例函数$y=\frac {m}{x}$的图象过点$B(-1,2)$,
∴$m=-1×2=-2$.
(3)设 P 点坐标为$(x,\frac {1}{2}x+\frac {5}{2})$.由$△PCA$和$△PDB$面积相等,得$\frac {1}{2}×\frac {1}{2}×(x+4)=\frac {1}{2}×|-1|×(2-\frac {1}{2}x-\frac {5}{2})$.解得$x=-\frac {5}{2}$.
∴$y=\frac {1}{2}x+\frac {5}{2}=\frac {5}{4}$.
∴点 P 的坐标为$(-\frac {5}{2},\frac {5}{4})$.【拓展提问】$(0,\frac {8}{5})$