《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【变式 2】 如图，直线$y = -2x + 10$分别与$x$轴、$y$轴交于$A$，$B$两点，点$C$为$OB$的中点，抛物线$y = x^{2}+bx + c$经过$A$，$C$两点。
(1)抛物线的函数表达式为$y=x^{2}-6x+5$。
(2)点$D$是直线$AB$下方的抛物线上的一点，且$\triangle ABD$的面积为$\frac{45}{2}$，则点$D$的坐标为$(2,-3)$。

答案：
(1)$y=x^{2}-6x+5$
(2)$(2,-3)$

【例】 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为 $ 25 $ m）的空地上修建一个矩形小花园 $ ABCD $。小花园一边靠墙，另三边用总长 $ 40 $ m 的栅栏围住，如图所示。设矩形小花园 $ AB $ 边的长为 $ x $ m，面积为 $ y $ $ m^{2} $。
（1）求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。
（2）当 $ x $ 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
【分析】 （1）根据矩形的面积公式写出函数表达式即可，函数自变量的取值范围要通过实际问题中矩形的长宽均为正数得到；（2）根据函数的性质求最值即可。
【解答】

【方法指导】 利用二次函数求几何图形的面积最值的步骤：①分析题中的变量与常量；②根据几何图形的面积公式建立函数模型，注意自变量的取值范围要符合实际意义；③根据函数的图象及性质，结合自变量的取值范围求出面积的最值。

答案： 解：
(1)由题意，得$y=x(40-2x)=-2x^{2}+40x$，$\because 0＜40-2x\leqslant 25$，$\therefore \dfrac{15}{2}\leqslant x＜20$．$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-2x^{2}+40x\left( \dfrac{15}{2}\leqslant x＜20\right)$．
(2)由
(1)知，$y=-2x^{2}+40x=-2(x-10)^{2}+200$，$\because -2＜0$，$\dfrac{15}{2}\leqslant x＜20$，$\therefore$当$x=10$时，$y$取最大值，最大值为$200$．答：当$x=10$时，小花园的面积最大，最大面积是$200\ m^{2}$．