《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$AC = 8$，$BC = 9$，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，$BD = 2$，$CE = 5$，$DE = 4.5$，$\angle ADE = \angle C$. 求证：$\triangle AED \backsim \triangle ABC$.
【分析】 证明两个三角形三组对应角相等，三组对应边成比例即可.
【解答】

【方法指导】 识别对应边、对应角的方法：(1)对应角所对边是对应边，对应边所对角是对应角.(2)最大边对应最大边，最小边对应最小边；最大角对应最大角，最小角对应最小角.

答案： 解:
∵AB=6,BD=2,
∴AD=4.
∵AC=8,CE=5,
∴AE=3.
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,$\frac{AD}{AC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,$\frac{DE}{BC}=\frac{4.5}{9}=\frac{1}{2}$.
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$.
∵∠EAD=∠BAC,∠ADE=∠C,
∴∠AED=∠B.
∴△AED∽△ABC.

【例 2】 如图，$BC$，$AD$相交于点$C$，$\triangle ABC \backsim \triangle DEC$，$AC = 4.8$，$CD = 1.6$，$BC = 9.3$.
(1)求$EC$的长.
(2)求证：$BC \perp AD$.
【分析】 (1)根据相似三角形的对应边成比例解答即可；(2)根据相似三角形的对应角相等，平角的定义解答即可.
【解答】

【方法指导】 有关计算问题由相似三角形对应边成比例列方程求解；有关证明问题由三角形对应边成比例，对应角相等进行转化求证.

答案：
(1)
∵△ABC∽△DEC,
∴$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}$,即$\frac{4.8}{1.6}=\frac{9.3}{EC}$,解得 EC=3.
(2)
∵△ABC∽△DEC,
∴∠ACB=∠DCE.
∵∠ACB+∠DCE=180°,
∴∠ACB=∠DCE=90°.
∴BC⊥AD.

【变式】 如图，$\triangle ABC \backsim \triangle ACD$，$CD$平分$\angle ACB$. 若$AD = 2$，$BD = 3$，则$AC =$$\sqrt{10}$，$DC =$3.

答案： $\sqrt{10}$ 3