《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例】 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$D$ 是斜边 $AC$ 的中点，连接 $DB$，线段 $AE\perp BD$ 于点 $G$，交 $BC$ 于点 $E$.
(1) 求证：$EB^{2} = EG\cdot EA$.
(2) 连接 $CG$，若 $\angle CGE = \angle DBC$，求证：$BE = CE$.
【解答】

【方法指导】 (1) 当两个三角形已经具备一组角对应相等的条件时，往往先找是否有另一组角相等. 找角相等时应当注意挖掘隐含的角，如公共角、对顶角、同角的余角（或补角）.(2) 利用相似三角形证明等积式或比例式时，把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明这两
个三角形相似，从而得到所要证明的结果.

答案： 【例】 解：
(1)
∵AE⊥BD，
∴∠BGE=90°.
∵∠ABC=90°，
∴∠BGE=∠ABE.
∵∠BEG=∠AEB，
∴△BGE∽△ABE.
∴$\frac{EB}{AE}=\frac{GE}{BE}$，即$EB^2=EG·EA$.
(2)
∵在Rt△ABC中，D是斜边AC的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}AC=CD$.
∴∠DBC=∠DCB.
∵∠CGE=∠DBC，
∴∠CGE=∠DCB.
∵∠GEC=∠GEC，
∴△GEC∽△CEA.
∴$\frac{EG}{EC}=\frac{EC}{EA}$.
∴$EC^2=EG·EA$.由
(1)知$EB^2=EG·EA$，
∴$EC^2=EB^2$.
∴BE=CE.

【变式】 如图，在 $□ ABCD$ 中，$G$ 是 $AB$ 的延长线上一点，连接 $DG$，分别交 $AC$，$BC$ 于点 $E$，$F$，且 $AE:EC = 3:2$.
(1) 如果 $AB = 10$，求 $BG$ 的长.
(2) $\frac{EF}{FG}$ 的值为 $\frac{4}{5}$.

答案： 【变式】 解：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=10.
∴∠GAE=∠DCE，∠AGE=∠CDE.
∴△AGE∽△CDE.
∴$\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac{3}{2}$.
∴$AG=\frac{3}{2}CD=\frac{3}{2}×10=15$.
∴BG=AG-AB=15-10=5.
(2)$\frac{4}{5}$