《2025年名校课堂九年级数学全一册北师大版四川专版》

【例 1】（1）如图为二次函数 $ y = x^2 $ 的图象，请在同一平面直角坐标系中画出二次函数 $ y = (x - 2)^2 + 1 $ 的图象。

（2）观察图象填空：
① 抛物线 $ y = (x - 2)^2 + 1 $ 的开口向上，顶点坐标为(2,1)，对称轴是直线x=2，当 $ x $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x＜2$＞2时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
② 抛物线 $ y = (x - 2)^2 + 1 $ 可以看作是由抛物线 $ y = x^2 $ 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的。
【方法指导】相互关系：

答案： 【例1】 解:
(1)图略.
(2)①向上 $(2,1)$ $x=2$ $＜2$ $＞2$ ②右 2 上 1

【变式 1】已知函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）抛物线的对称轴为 。直线x=-3
（2）抛物线的顶点坐标为 。(-3,2)
（3）当 $ x = $-3时，$ y $ 有最大值，是 。2
（4）当x＜-3时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
（5）$ x = $-1或-5时，$ y = 0 $。

答案： 【变式1】
(1)直线$x=-3$
(2)$(-3,2)$
(3)$-3$ 2
(4)$x＜-3$
(5)$-1$或$-5$

【变式 2】将抛物线向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后得到 $ y = -(x - 2)^2 + 3 $，则原抛物线的表达式为 。y=-(x+1)^2+1

答案： 【变式2】 $y=-(x+1)^2+1$

【例 2】如图，直线 $ y = -3x + 3 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $，$ B $，抛物线 $ y = a(x - 2)^2 + k $ 经过点 $ A $，$ B $，并与 $ x $ 轴交于另一点 $ C $，其顶点为 $ P $。
（1）求 $ a $，$ k $ 的值。
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点 $ N $，使 $ \triangle ABN $ 是以 $ AB $ 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 $ N $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
【分析】（1）先根据直线表达式求出点 $ A $，$ B $ 的坐标，再将 $ A $，$ B $ 两点坐标代入抛物线的表达式中，得到关于 $ a $，$ k $ 的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设点 $ N $ 的坐标为 $ (2, n) $，对称轴 $ x = 2 $ 交 $ x $ 轴于点 $ F $，过点 $ B $ 作 $ BE $ 垂直于直线 $ x = 2 $ 于点 $ E $。在 $ Rt \triangle ANF $ 与 $ Rt \triangle BNE $ 中，利用勾股定理用含 $ n $ 的代数式分别表示出 $ AN^2 $，$ BN^2 $，由勾股定理可以列出方程，求出 $ n $ 的值，即可求得点 $ N $ 的坐标。
【解答】

答案： 【例2】 解:
(1)在$y=-3x+3$中,令$y=0$,得$x=1$;令$x=0$,得$y=3$,$\therefore A(1,0),B(0,3)$.将$A(1,0),B(0,3)$分别代入$y=a(x-2)^2+k$,得$\begin{cases} a+k=0, \\ 4a+k=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ k=-1. \end{cases}$
(2)由题意,可设点$N$的坐标为$(2,n)$,则$NB^2=$$2^2+(n-3)^2=n^2-6n+13$,$NA^2=(2-1)^2+n^2=1+n^2$,且$AB^2=1^2+3^2=$10.当$\triangle ABN$是以$AB$为斜边的直角三角形时,由勾股定理,得$NB^2+NA^2$$=AB^2$.$\therefore n^2-6n+13+1+n^2=10$,解得$n_1=1$,$n_2=2$.$\therefore$点$N$的坐标为$(2,$1)或$(2,2)$.$\therefore$存在满足条件的点$N$,其坐标为$(2,1)$或$(2,2)$.